由于窝队数学能力非常捉急。。所以需要窝这个半吊子假数学选手来充一下数。。主要负责数论这块的内容。。
然后窝也比较健忘。。所以就贴一些定理和证明。。
定义一:(a,b)代表最大公约数,[a,b]代表最小公倍数
同余性质的补充,注意一下性质7和性质9即可
性质1:a≡a(mod m),(反身性)
这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。
性质2:若a≡b(mod m),那么b≡a(mod m),(对称性)。
性质3:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),那么a≡c(mod m),(传递性)。
性质4:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么a±c≡b±d(mod m),(可加减性)。
性质5:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么ac≡bd(mod m)(可乘性)。
证明 :m|(a-b) , m|(c-d) 设 a-b=km c-d=lm (ac-bd)=klm^2+(b+d)m =>m|(ac-bd)
性质6:若a≡b(mod m),那么an≡bn(mod m),(其中n为自然数)。
证明 : m|(a-b) => m|n*(a-b)
性质7:若ac≡bc(mod m),(c,m)=1,那么a≡b(mod m),(记号(c,m)表示c与m的最大公约数)。
证明 : m|c(a-b) d=(m,c)=>m/d|(a-b) => a≡b(mod m/d)=>当 d=1时 即(c,m)=1上面结论成立
性质8:若a≡b(mod m),那么a的n次方和b的n次方也对于m同余
证明 :a^n-b^k=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b.....b^(n-1)) +m|(a-b) ==>m|(a^n-b^n)
性质9:若 a≡b(mod m1) a≡b(mod m2).... a≡b(mod mi) 则 a≡b(mod [m1,m2,..mi])
证明:m1 |(a-b) m2|(a-b) ..mi|(a-b) =>[m1,m2...mi]|(a-b) (因为 a-b里面含了 m集合的所有因子和每个因子的最大个数)
推论 m1,m2..mi两两互质 则 a≡b(mod m1m2..mi);
同余方程中,指数的幂次不能直接取模,需要用到欧拉降幂(具体可以百度)
定义二:定义在所有正整数上的函数称为算数函数
定义三:算数函数f如果满足对任意两个互素的正整数n和m,均有f(nm)=f(m)f(n),就称为积性函数(乘性函数)。如果对任意两个正整数n和m,均有f(nm)=f(n)f(m),就成为完全积性(乘性)函数。
小推论:对任意积性函数f(n),满足f(1)=1
常见积性函数:
恒等函数
单位函数
幂函数
元函数 狄利克雷卷积的乘法单位元
除数函数表示n的约束的k次幂和
约束个数函数表示约数个数
约数和函数表示n的约数之和
欧拉函数
莫比乌斯函数
定理一:如果f是一个积性函数,对任意正整数n有素数幂分解 ,那么有
证明:乘积因子之间互质,可以根据积性函数性质分解
Ex定理一:如果f是积性函数,则f的和函数也是积性函数
证明:用狄利克雷卷积易得
定义四:欧拉函数φ(n)指不超过n且于n互素的正整数的个数,其中,n是一个正整数。
定理二:如果p是素数,那么φ(p)=p-1;反之,如果φ(p)=p-1,那么p是素数
证明:此命题与1..p-1均与素数p互质等价
定理三:设p为素数,a为一个正整数,那么
证明:只有p的倍数不与p^a互质,故在p^a基础上减去(p^a)/p=p^(a-1)
定理四:欧拉函数为积性函数,即
证明:
证明方法很多,下面给出最易懂的证明(因为其他证明窝看不懂orz
设n与m互质,构造如下矩阵,包含nm个数
由定义要从矩阵中选出于nm互素的数,其行号i须满足(i,n)==1,共有φ(n)个满足条件的i
其列号须满足(j,m)==1,共φ(m)个满足条件的j
综上共有φ(n)φ(m)个数与nm互质,即
定理五:设 为正整数n的素数幂分解,那么
证明:结合定理一、定理二、定理四对φ(n)进行素数幂分解,得
这个分解和证明比较经典吧。。划重点划重点。。。
推论:当n为奇数时,有φ(2n)=φ(n)
定理六:设n是一个大于2的正整数,那么φ(n)是偶数
证明:对任意与n互质的数m,有(n,m)=(n,n-m)=1
当n>2时,n与n/2必不互质,那么有m!=n-m,即所有与n互质的数成对出现,故φ(n)为偶数
定理七:
证明一:构造序列,并进行约分
若分数在上面出现,则满足b|n和(a,b)==1
对同一个b,满足条件的a有φ(b)个,于是上面n个分数根据分母b被分为个,得证
(证明二待补充,还有用反演证的等反演学了再补。。)
定义五:定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ,称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Zn| =φ(n) 。
定理八:
欧拉定理:对于互质的正整数a和n,
证明:令完全余数集合
先证Zn=S
因为 a 与 n 互质, xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质, 所以 a * xi 与 n 互质,所以 a * xi mod n ∈ Zn 。
若 i ≠ j , 那么 xi ≠ xj,有0 < xi - xj < n,又a与n互质,得a * ( xi - xj ) mod n ≠ 0 ,所以a * xi mod n ≠ a * xj mod n (消去律)
进而得
约去x1*x2*...*xn得
推论:费马小定理:对于互质的正整数a和n,
定理九:当n>1时,1..n中与n互质的整数和为
证明:对任意与n互质的数m,有gcd(n,m)=gcd(n,n-m)=1,即对任意m必有n-m与n互质,利用倒序相加法可证
Ex定理一:
欧拉降幂公式: k>φ(m)
证明:首先,若a与m互质,由欧拉定理可知 ,即证上式
若(a,m)>1,证明就比较长了,分为好几步
先证(t,a)==1,其中
显然构造t是为了排除a的因子,而对a和m的一个公共素因子,有φ(m)>=(pi-1)pi^(k-1)>k,所以a^(φ(m))足够排除所有公共素因子,所以这t和a互质
由于t是m的因子,所以根据欧拉函数的素因子分解式,存在k使φ(m)=kφ(t),故有
得
两边同乘(m,a^(φ(n)))
即
即
所以将k分解为k=pφ(m)+q,其中q=k%φ(m),可得
定义六:因子和函数σ定义为整数n的所有正因子之和,记为σ(n)
定义七:因子个数函数τ定义为正整数n的所有正因子个数,记为τ(n)
定理十:因子和函数σ和因子个数函数τ是积性函数
证明:设n与m互质,σ(n)=k,σ(m)=s,n的因子为x1,x2,x3...xk,m的因子为y1,y2...ys
那么nm的因子为x1*y1,x1*y2...x1*ys,x2*y1,x2*y2,...,x2*ys....xk*y1,xk*y2,....xk*ys
共有k*s个因子,所以σ(nm)=σ(n)σ(m),σ(n)为积性函数
,故τ(n)为积性函数
定理十一:
定理十二:
定义八:莫比乌斯函数
定理十三:莫比乌斯函数为积性函数
证明:分类讨论易证
定理十四:
证明:由于产生影响的项为n=1和不同素数相乘的项,故考虑将n的素因子p1 ,p2 ,p3....pk相互组合形成的数
则根据二项式定理上式可化为
等价于[n=1]
定理十五:
莫比乌斯反演定理:
形式一:
若,则有
形式二:
若,则有
证明一:
形式一:
其中2个和式可以交换的原因是k和d仅需满足kd|n即可
形式二:
证明二需要用到狄利克雷卷积,待补
定义九:
狄利克雷卷积:对2个算术函数 f , g 定义其Dirichlet卷积为新函数 f * g ,满足
定理十:
Dirichlet卷积的性质:
交换律: f * g = g * f
结合律 :( f * g ) * h = f * ( g * h )
单位元 :f * e = f
分配律: f * ( g + h ) = f * g + f * h
证明:交换律和分配律可根据和式的性质证明,单位元显然成立
可得结合律成立
定理十一:两个积性函数的狄利克雷卷积仍为积性函数
证明:设 h = f * g ,n与m互质,对n和m进行素因子分解,有
对h(nm)中的每一项d,对其进行素因子分解,可得
在h(n)和h(m)中,仅有一项x和y,满足d=xy,且x和y分别为
由此可得,h(nm)中的每一项均从h(n)的对应项和h(m)的对应项相乘而成,故h(nm)=h(n)h(m),得证