这三道题都是最小圆覆盖问题,只不过数组或者输出形式有点变化而已
随机增量法是一个可以在 期望 O(n)时间内求出最小圆覆盖的算法,首先它的算法流程是这样的
枚举第一个点 i,若不在目前圆内,设它为圆心
枚举第二个点 j,若不在当前圆内,设当前圆为以 i,j 为直径的圆
枚举第三个点 k,若不在当前圆内,设当前圆为 i,j,k 的外接圆
正确性
显然最优解一定是两个点为直径的圆或者一个三角形的外接圆,否则肯定能缩的更小。那么这么枚举的正确性是比较显然的了
时间复杂度
这是一个重点,这么做看似是O(n^3) 的,不过对于 随机顺序 的点,是可以 期望 O(n) 的。下面考虑证明:
显然,最后一层循环枚举从 1~j,只要进入循环就一定要跑完,所以是O(j) 的
考虑倒数第二层循环,什么情况下会进入第三层循环呢?仅当 j 不在前 j-1 个点形成的圆中,考虑 j 个点形成的圆是由三个点确定的,那么第 j 个 (最后一个点) 若是三个点之一,则需要扩大圆,否则不需要进入第三层循环,这个概率是3/j 的,所以第二层的复杂度是O(i) 的同理,第一层的复杂度就是O(n)的了
当然,这是基于随机数据的期望复杂度,所以我们一般需要手动打乱排列
附上代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int M=1e5+5;
const double eps=1e-10;
double dcmp(double x)
{
if(fabs(x)<eps){
return 0;
}
return x;
}
int n;
struct point{
double x,y;
point(){}
point(double _x,double _y){x=_x,y=_y;}
point operator + (point p){
return point(x+p.x,y+p.y);
}
point operator - (point p){
return point(x-p.x,y-p.y);
}
point operator * (double k){
return point(x*k,y*k);
}
point operator / (double k){
return point(x/k,y/k);
}
}pp[M];
double cross(point a,point b)
{
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
double dis(point a,point b)
{
return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
point getmid(point a,point b)
{
return point((a.x+b.x)/2,(a.y+b.y)/2);
}
point rotate(point a)
{
return point(-a.y,a.x);
}
struct circle{
point o;
double r;
circle(){}
circle(point a,double r):o(a),r(r){}
};
circle circlein(point t1,point t2,point t3)
{
point v1=t2-t1,v2=t1-t3;
v1=rotate(v1),v2=rotate(v2);
point p1=getmid(t1,t2),p2=getmid(t1,t3);
point u=p1-p2;
double t=cross(v2,u)/cross(v1,v2);
point oo=p1+v1*t;
return circle(oo,dcmp(dis(oo,t1)));
}
void work()
{
circle ans;
ans.o=pp[1];ans.r=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(dis(pp[i],ans.o)>ans.r+eps){
ans=circle(pp[i],0);
for(int j=1;j<i;j++){
if(dis(pp[j],ans.o)>ans.r+eps){
ans.o=getmid(pp[i],pp[j]);
ans.r=dis(pp[j],pp[i])/2;
for(int k=1;k<j;k++){
if(dis(pp[k],ans.o)>ans.r+eps){
ans=circlein(pp[i],pp[j],pp[k]);
}
}
}
}
}
}
//printf("%.2lf %.2lf %.2lf\n",ans.o.x,ans.o.y,ans.r);
printf("%.10lf\n%.10lf %.10lf\n",ans.r,ans.o.x,ans.o.y);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lf%lf",&pp[i].x,&pp[i].y);
}
random_shuffle(pp+1,pp+n+1);
work();
return 0;
}