第20章 反常积分:基本概念
主要内容:
- 反常积分、收敛和发散的定义
- 关于没有边界区域的反常积分
- 关于比较判别法、极限比较判别法、p判别法和绝对收敛判别法的理论基础
20.1 收敛和发散
考虑积分
当函数 在区间 内有一条垂直渐近线:函数在渐近线附近变得很大,且没有界限。上述积分就变成的反常积分。
即使函数是有界的,也会出现一种不同类型的无界。即闭区间 变成一个无界区间,如: .
综上:如果出现以下情况,积分 就是反常积分:
(1)函数 在闭区间内是无界的;
(2)闭区间本身是无界的;
如果函数 接近于 时是无界的,就称该函数在 点有一个破裂点。
20.1.1 收敛和发散
如果仅仅在
接近于
的时候该函数
是无界的,则定义:
该极限存在或不存在,我们就说该反常积分收敛或发散。
一个反常积分在有界区间的收敛和发散,仅仅由它的被积函数在非常接近破裂点时的走势决定。
20.2 关于无穷区间的积分
定义:
假设该极限存在,则反常积分收敛,否则发散。
一个反常积分在无界区间的收敛和发散,仅仅由它的被积函数在自变量接近于无穷大时的走势决定。
20.3 比较判别法
用一个函数的反常积分的结果,判别另一个函数的反常积分。
20.4 极限比较判别法
基本思想:假设两个函数在破裂点附近的表现非常接近(再没有其它破裂点),那么,两个函数在破裂点上区间的反常积分同时收敛或发散。
20.4.1 函数互为渐近线
定义:当 时, 同 有同样的意义。即当 时,两个函数渐进等价。
极限比较判别法可以转化为比较判别法。
20.5 p判别法
p判别法实质上是比较判别法和极限比较判别法的一个特例:找一个常见的简单函数形式 ,根据p的值,判定 的幂在破裂点区间上反常积分的收敛或发散性。
20.6 绝对收敛判别法
类似于夹逼定理,函数的绝对值在积分区间收敛,相当于极限的上界和下界收敛。
证明技巧:设 ,可知,但 时, ,当 时, 。因此: 。由比较判别法,可知,如果 绝对收敛,则 绝对收敛。
由于 ,有 ,当等式右侧两项收敛时,左侧也收敛。