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西瓜书第3章公式推导三
3.4 softmax回归
3.4.1softmax回归推导
softmax回归可以看成是逻辑回归在多分类问题上的推广。
softmax回归因为
y(i)∈[1,2,…,k]
,有k个样本类型,所以假设函数为
h(θ)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢p(y(i)=1|x(i);θ)p(y(i)=2|x(i);θ)…p(y(i)=k|x(i);θ)⎤⎦⎥⎥⎥⎥=1∑kj=1eθTjx(i)⎡⎣⎢⎢eθT1x(i)eθT2x(i)…eθTkx(i)⎤⎦⎥⎥
即求出每一个类别的概率值。1∑kj=1eθTjx(i)则是归一化,使总和为1。
下面公式的
1{⋅}
为示性函数,取值规划:
1{值为真的表达式}=1
例如1{2+2=4}=1,1{1+1=5}=0。
那么softmax回归的代价函数为
J(θ)==−1m[∑i=1m∑j=1c1{y(i)j=1}logP(i)j]−1m⎡⎣∑i=1m∑j=1k1{y(i)j=1}logeθTjx(i)∑kj=1eθTjx(i)⎤⎦(1)(2)
∇θj=======−1m∂∑mi=1∑kj=11{y(i)j=1}logP(i)j∂θj−1m∂∑kj=1∑mi=11{y(i)j=1}logP(i)j∂θj−1m∂∑mi=11{y(i)1=1}logP(i)1+∑mi=11{y(i)2=1}logP(i)2+…+∑mi=11{y(i)l=1}logP(i)j+…+∑mi=11{y(i)k=1}logP(i)k∂θj−1m∂∑mi=11{y(i)1=1}logeθT1x(i)∑kj=1eθTjx(i)+∑mi=11{y(i)2=1}logeθT2x(i)∑kj=1eθTjx(i)+…+∑mi=11{y(i)l=1}logeθTkx(i)∑mj=1eθTjx(i)+…+∑mi=11{y(i)k=1}logeθTmx(i)∑mj=1eθTmx(i)∂θj−1m∂∑mi=11{y(i)1=1}logeθT1x(i)+…+∑mi=11{y(i)l=1}logeθTkx(i)+…+∑mi=11{y(i)k=1}logeθTmx(i)−∑mi=1log∑kj=1eθTjx(i)∂θj−1m⎡⎣0+0+…+0+∑i=1m1{y(i)j=1}x(i)+0+…+0−∑i=1meθTjx(i)∑kj=1eθTjx(i)x(i)⎤⎦−1m[∑i=1m(1{y(i)j=1})−P(i)j](15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)
所以
θj:=θj−α∇θj
对于
J(θ)
最小化没有闭合的方法,所以使用迭代的优化算法(例如梯度下降法,或 L-BFGS)。
3.4.2softmax冗余特点解决
假设我们从参数向量θj中减去了向量Ψ
p(y(i)=j|x(i);θ)===e(θj−Ψ)Tx(i)∑kl=1e(θl−Ψ)Tx(i)eθTjx(i)e−ΨTx(i)∑kl=1e(θl)Tx(i)e−ΨTx(i)e(θj)Tx(i)∑kl=1e(θl)Tx(i)(22)(23)(24)
不影响结果。如果参数
(θ1,θ2,…,θk)
是代价函数
J(θ)
的极小值点,那么
(θ1−Ψ,θ2−Ψ,…,θk−Ψ)
同样也是它的极小值点,其中
Ψ
可以为任意向量。因此使
J(θ)
最小化的解不是唯一的。(有趣的是,由于 仍然是一个凸函数,因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的,这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题)。
在实际应用中,为了使算法实现更简单清楚,往往保留所有参数 ,而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动:加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。
增加一个权重衰减项
λ2∑ki=1∑nj=0θ2ij
来修改代价函数,这个衰减项会惩罚过大的参数值
J(θ)=−1m[∑i=1m∑j=1k1{y(i)=j}logeθTjx(i)∑kl=1e(θl)Tx(i)]+2λ∑ki=1∑nj=0θ2ij
有了这个权重衰减项以后
(λ>0)
,代价函数就变成了严格的凸函数,这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的Hessian矩阵变为可逆矩阵,并且因为
J(θ)
是凸函数,梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。
这个新
J(θ)
导数
∇θjJ(θ)=−1m∑i=1m[x(i)(1y(i)=j−p(y(i)=j|x(i);θ))]+λθj
3.4.3softmax回归雨逻辑回归关系
对于
逻辑回归有假设函数
hθ(x)=11+e−θTx
则其损失函数为
J(θ)=−1m[∑i=1myiloghθ(xi)+(1−yi)log(1−hθ(xi))]
因为softmax回归是逻辑回归函数推广,所以逻辑回归可以改为:
J(θ)==−1m[∑i=1myiloghθ(xi)+(1−yi)log(1−hθ(xi))]−1m[∑i=1m∑j=1k1{yi=j}logp(yi=j|xi;θ)](25)(26)
只不过对其而言k=2 。
3.4.4Softmax 回归 vs. k 个二元分类器
如果你在开发一个音乐分类的应用,需要对k种类型的音乐进行识别,那么是选择使用 softmax 分类器呢,还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢?
这一选择取决于你的类别之间是否互斥,例如,如果你有四个类别的音乐,分别为:古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐,那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签(即:一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种),此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。(如果在你的数据集中,有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类,那么你可以添加一个“其他类”,并将类别数 k 设为5。)
如果你的四个类别如下:人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲,那么这些类别之间并不是互斥的。例如:一首歌曲可以来源于影视原声,同时也包含人声 。这种情况下,使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样,对于每个新的音乐作品 ,我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。
现在我们来看一个计算视觉领域的例子,你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是:室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢? (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片,你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢?
在第一个例子中,三个类别是互斥的,因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中,建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。