学习惯导这么久,以为自己入门了,突然发现自己还是活在梦里。就拿这个旋转矩阵来说,在学惯导之前就已经明白是怎么回事了,然而并没有什么用,在INS的海洋里兜兜转转,又回到了旋转矩阵。入门道阻且长,惟有志存高远,方能钻研不休。
为了自己的健忘脑袋着想,还是再次完整的备忘一下关于旋转矩阵的问题。在本文中,对在学习严恭敏老师的《捷联惯导算法与组合导航原理讲义》中产生的疑问也做一个补充说明。文末附上前述讲义。
一、入门基础
在开始本文之前,首先要把坐标系定义好。我还是要偷一下懒,因为我觉得我不可能写的比这篇好。见判断三维坐标系旋转正方向的简单方法。在本文中,坐标系即右手系,正向旋转如前述判断方法。
如图所示,将坐标系
ox1y1z1
绕
z1
轴正向旋转至
ox2y2z2
,
P
点在
ox1y1z1
中的坐标为
(x1,y1)
,在
ox2y2z2
中的坐标为
(x2,y2)
。
显然,该旋转为正向旋转(不要在意旋转角度的字母),在二维坐标系中有
[x2y2]=[cosψ−sinψsinψcosψ][x1y1]
在三维坐标系中有
⎡⎣⎢x2y2z2⎤⎦⎥=⎡⎣⎢cosψ−sinψ0sinψcosψ0001⎤⎦⎥⎡⎣⎢x1y1z1⎤⎦⎥
即绕
Z
轴正向旋转的旋转矩阵为:
Cψ=⎡⎣⎢cosψ−sinψ0sinψcosψ0001⎤⎦⎥
同理,绕
X
轴正向旋转的旋转矩阵为
Cθ=⎡⎣⎢1000cosθ−sinθ0sinθcosθ⎤⎦⎥
绕
Y
轴正向旋转的旋转矩阵为
Cγ=⎡⎣⎢cosγ0sinγ010−sinγ0cosγ⎤⎦⎥
如果对绕
Y
轴旋转的情况不了解,请参考
003备忘补充之惯性导航基本原理(刘保中)—9.1方向余弦与方向余弦矩阵
二、方向余弦阵
这一小节通过严恭敏老师的讲义进行说明,针对20180206版本。
在该讲义的194页中,给出了两种定义欧拉角的方式,对于图B-2而言,通过以下方式旋转(注意:讲义中旋转角字母的定义跟我上面讲的不一样,不要搞混)
OX0Y0Z0−→−−−−正向旋转α绕Z轴OX1Y1Z1−→−−−−正向旋转β绕X轴OX2Y2Z2−→−−−−正向旋转γ绕Y轴OX3Y3Z3
那么将坐标系从0系旋转到1系需要
⎡⎣⎢X1Y1Z1⎤⎦⎥=C10⎡⎣⎢X0Y0Z0⎤⎦⎥
C10=⎡⎣⎢cosα−sinα0sinαcosα0001⎤⎦⎥
将坐标系从0系旋转到2系需要
⎡⎣⎢X2Y2Z2⎤⎦⎥=C20⎡⎣⎢X0Y0Z0⎤⎦⎥=C21C10⎡⎣⎢X0Y0Z0⎤⎦⎥
C21=⎡⎣⎢1000cosβ−sinβ0sinβcosβ⎤⎦⎥
将坐标系从0系旋转到3系需要
⎡⎣⎢X3Y3Z3⎤⎦⎥=C30⎡⎣⎢X0Y0Z0⎤⎦⎥=C32C21C10⎡⎣⎢X0Y0Z0⎤⎦⎥
C32=⎡⎣⎢cosγ0sinγ010−sinγ0cosγ⎤⎦⎥
那么从3系旋转到0系即为:
C03=(C30)T=(C32C21C10)T=(C10)T(C21)T(C32)T=C01C12C23
=⎡⎣⎢cosαsinα0−sinαcosα0001⎤⎦⎥⎡⎣⎢1000cosβsinβ0−sinβcosβ⎤⎦⎥⎡⎣⎢cosγ0−sinγ010sinγ0cosγ⎤⎦⎥
资源:
捷联惯导算法与组合导航原理讲义(20180206)密码:mpqp
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