环境 : 给定一个数n,让你把它分解成多个素数的乘积
你离此算法大成就差一个Miller-Rabin素数检测算法和floyd判圈算法了
Pollard Rho算法:
对于一个数n,只需要如下步骤即可分成若干个素数
- 找到一个数p , 使p|n
- 那么n就可以变成p和n/p
- 如果p或者n/p不是质数,当成n重新第一步
判断是否为质数用Miller-Rabin素数检测算法
最关键的是如何找到这个数p
因为随机产生p可以一直找不到,所以我们要用下面的方法,用两个数的差代替p
- 随机产生一个数p1,和一个随机常数c
- 令p2=(p1^2+c)%n
- 如果|p2-p1|可以被n整除,说明已经找到
- 如果找不到,令p1=p2继续第一步
p->(p^2+c)%n,这样基本是不会出现p变回这前的数从而进行循环的情况,且一直重复的话,|(p^2+c)%n-p|也基本不会重复
怎么判断循环?如果用数组和map显然是不行的,空间肯定会炸
那么就需要floyd判环这种空间复杂度为O(1)的方法了
因为循环节可能是走着走着才出现的,就像希腊字母 (rho) ,所以此法名为Pollard Rho
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long long ll;
ll ModMul(ll a,ll b,ll n)//快速积取模 a*b%n
{
ll ans=0;
while(b)
{
if(b&1)
ans=(ans+a)%n;
a=(a+a)%n;
b>>=1;
}
return ans;
}
ll ModExp(ll a,ll b,ll n)//快速幂取模 a^b%n
{
ll ans=1;
while(b)
{
if(b&1)
ans=ModMul(ans,a,n);
a=ModMul(a,a,n);
b>>=1;
}
return ans;
}
bool Miller_Rabin(ll n)//Miller-Rabin素数检测算法
{
ll i,j,a,x,y,t,u,s=10;
if(n==2)
return true;
if(n<2||!(n&1))
return false;
for(t=0,u=n-1;!(u&1);t++,u>>=1);//n-1=u*2^t
for(i=0;i<s;i++)
{
a=rand()%(n-1)+1;
x=ModExp(a,u,n);
for(j=0;j<t;j++)
{
y=ModMul(x,x,n);
if(y==1&&x!=1&&x!=n-1)
return false;
x=y;
}
if(x!=1)
return false;
}
return true;
}
LL Pollard_Rho(LL n,LL c)
{
LL i=1,j=2,x=rand()%(n-1)+1,y=x;//随机初始化一个基数(p1)
while(1)
{
i++;
x=(ModMul(x,x,n)+c)%n;//玄学递推
LL p=__gcd((y-x+n)%n,n);
if(p!=1&&p!=n)return p;//判断
if(y==x)return n;//y为x的备份,相等则说明遇到圈,退出
if(i==j)
{
y=x;
j<<=1;
}//更新y,判圈算法应用
}
}
void find(LL n,LL c)//同上,n为待分解数,c为随机常数
{
if(n==1)return;
if(Miller_Rabin(n))//n为质数
{
//保存,根据不同题意有不同写法,在此略去
//printf("%lld\n",n);
return;
}
LL x=n,k=c;
while(x==n)x=Pollard_Rho(x,c++);//当未分解成功时,换个c带入算法
find(n/x,k);
find(x,k);
//递归操作
}
int main(){
LL c=1;
//for(LL i=1000000008;i;i++)if(Miller_Rabin(i)){printf("%lld\n",i);break; }
LL n=1000000009 ;n*= 1000000007;
printf("%lld\n",n);
find(n,1);
printf("%.3fs\n",(double)clock()/CLOCKS_PER_SEC);//1ms
}
上限数据测试 :
(1e6+3)(1e6+33)(1e6+37),运行时间12ms
(1e9+7)(1e9+9),运行时间为180ms
对于因子少且大的时候,该方法依然不是很有效
比赛时2000ms如果数据范围为1e18的话,你只能跑10组数。。。