一类问题: 判定一个整数n(n>1)是否为素数。
算法1:
直接根据素数的定义枚举i
从2到(n−1),如果n%i==0n为合数。
时间复杂度:O(n)
**
bool is_prime(int n) {
int i;
for(i = 2; i < n; i++)
if(n % i == 0) return false;
return true;
}
**
算法2:
大部分人都知道的比较快的方法:判断从2到sqrt(n)是否存在其约数,
时间复杂度O(sqrt(n))
bool is_prime(int n) {
int i;
for(i = 2; i * i <= n; i++)
if(n % i == 0) return false;
return true;
算法3:
高配版:判断2之后,就可以判断从3到sqrt(n)之间的奇数了,无需再判断之间的偶数,时间复杂度O(sqrt(n)/2)
void makePrimes(int primes[], int num)
{
int i, j, cnt;
primes[0] = 2;
primes[1] = 3;
for(i = 5, cnt = 2; cnt < num; i += 2)//cnt为primes下标,i+=2筛去了偶数
{
int flag = 1;
for(j = 0; primes[j]*primes[j] <= i; ++j)
{
if(i%primes[j] == 0)
{
flag = 0; break;
}
}
if(flag) primes[cnt++] = i;
}
}
算法4 尊享版
首先看一个关于质数分布的规律:大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7,11和13,17和19等等;
证明:令x≥1,将大于等于5的自然数表示如下:
··· 6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6(x+1),6(x+1)+1 ···
可以看到,不在6的倍数两侧,即6x两侧的数为6x+2,6x+3,6x+4,由于2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),所以它们一定不是素数,再除去6x本身,显然,素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。因此在5到sqrt(n)中每6个数只判断2个,时间复杂度O(sqrt(n)/3)。
在高配版和尊享版中,都是一个剪枝的思想,高配版中裁剪了不必要的偶数,尊享版中裁剪了不和6的倍数相邻的数,虽然都没有降低时间复杂度的阶数,但都一定程度上加快了判断的速度。
在此给出尊享版C++代码:
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int isPrime(int n)
{ //返回1表示判断为质数,0为非质数,在此没有进行输入异常检测
float n_sqrt;
if(n==2 || n==3) return 1;
if(n%6!=1 && n%6!=5) return 0;
n_sqrt=floor(sqrt((float)n));
for(int i=5;i<=n_sqrt;i+=6)
{
if(n%(i)==0 | n%(i+2)==0) return 0;
}
return 1;
}
int main()
{
int flag;
flag=isPrime(37);
cout<<flag<<endl;
return 0;
}
素数范围统计
,统计100到300之间素数共有多少个,计算所有素数的和并输出结果
#include <stdio.h>
void main()
{
int i,j,n=0,sum=0;
for(i=100;i<=300;i++)
{
for(j=2;j<i;j++)
if(i%j==0) break;
if(j>=i) {n++;sum+=i;}
}
printf("100到300之间共有%d个素数,和为%d",n,sum);
}