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Solution

~~根据小学知识，~~如果一个正整数 $n$ 的标准分解形式为 $n=\sum_{i=1}^mp_i^{q_i}$ ，那么 $n$ 的约数和为：

\sum_{i = 1}^{m} (1 + p_{i} + p_{i}^{2} + . . . + p_{i}^{q_{i}}) = \sum_{i = 1}^{m} \frac{p_{i}^{q_{i} + 1} - 1}{p_{i} - 1}

$\sum_{i=1}^m(1+p_i+p_i^2+...+p_i^{q_i})=\sum_{i=1}^m\frac{p_i^{q_i+1}-1}{p_i-1}$
我们可以大力搜索每个质因数的出现次数。
不过有一些技巧，否则 TLE ：
（1）大于

\sqrt{n}

$\sqrt n$ 的因子最多一个，因此搜完

\sqrt{n}

$\sqrt n$ 以内的质因子且当前讨论到

n u m

$num$ 时，只需要判断是否

n u m | n

$num|n$ ，

\frac{n}{n u m}

$\frac n {num}$ 大于

\sqrt{n}

$\sqrt n$ 且为质数即可。当然，如果

n u m = n

$num=n$ 就无须讨论这一点。
（2）尽管

n

$n$ 的约数不是很多，但我们还是可以构造出一些

n

$n$ 使

m

$m$ 比较大，比如

12!

$12!$ 。为了降低复杂度，我们还需要将

\sqrt{n}

$\sqrt n$ 以内的质数 从大到小枚举，避免 dfs 时在无解的节点上浪费过多时间。

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5, M = 5e4 + 5;
int n, m, len, ans[N], MaxN, tot, pri[M];
bool mark[N];
inline bool Pri(const int &n) {
    int i, S = sqrt(n);
    For (i, 2, S) if (n % i == 0) return 0;
    return 1;
}
void sieve() {
    int i, j;
    MaxN = sqrt(n);
    For (i, 0, 50000) mark[i] = 0;
    mark[0] = mark[1] = 1;
    For (i, 2, 50000) {
        if (!mark[i]) {
            pri[++tot] = i;
            if (i <= MaxN) len = tot;
        }
        For (j, 1, tot) {
            if (1ll * i * pri[j] > 1000000) break;
            mark[i * pri[j]] = 1;
            if (i % pri[j] == 0) break;
        }
    }
}
inline void dfs(const int &dep, const int &num, const int &sum) {
    if (sum == n) return (void) (ans[++m] = num);
    if (dep == len + 1) {
        if (n / sum - 1 > MaxN && Pri(n / sum - 1))
            ans[++m] = num * (n / sum - 1);
        return;
    }
    int i, s = 1, q = 1;
    For (i, 0, 998244353) {
        if (n % (s * sum) == 0) dfs(dep + 1, num * q, sum * s);
        if ((1ll * q * pri[len - dep + 1] + s) * sum > n) break;
        s += (q *= pri[len - dep + 1]);
    }
}
void work() {
    int i; m = tot = 0;
    sieve();
    dfs(1, 1, 1);
    printf("%d\n", m);
    sort(ans + 1, ans + m + 1);
    For (i, 1, m) printf("%d ", ans[i]);
    if (m) printf("\n");
}
int main() {
    while (~scanf("%d", &n)) work();
    return 0;
}

[BZOJ3629][JLOI2014]聪明的燕姿（数论+搜索）

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