111. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯，需要n步你才能到达顶部。但每次你只能爬一步或者两步，你能有多少种不同的方法爬到楼顶部？

样例

比如n=3，1+1+1=1+2=2+1=3，共有3种不同的方法

返回 3

解题思路：

很经典的动态规划问题，第一阶只有1， 第二阶有1+1， 2两种，第三阶就有 1，1，1； 1，2；2，1三种，

第四阶有2+3 =5种，依次类推，可以找出彼此之间的关系为 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。这个也是斐波那契数列数列的求解公式，所以也可以用斐波那契的经典求解方式。

还有一种是利用矩阵乘法的方式，可以达到0(logN)的时间复杂度，原理：https://blog.csdn.net/qq_36387683/article/details/81939513。

class Solution:
    """
    @param n: An integer
    @return: An integer
    """
    '''
    #动态规划
    def climbStairs(self, n):
        # write your code here
        if n < 3:
            return n
        dp = [0] * (n+1)
        dp[1] = 1
        dp[2] = 2
        for i in range(3, n+1):
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        
        return dp[n]
    '''
    
    '''
    斐波那契式求解
    def climbStairs(self, n):
        # write your code here
        if n < 3:
            return n
        
        before1 = 1
        before2 = 2
        res = 0
        for i in range(n-2):
            res = before1 + before2
            before1 = before2
            before2 = res
        
        return res
    '''
    
    #时间复杂度O(logN)， 利用矩阵求解
    def climbStairs(self, n):
        # write your code here
        if n < 3:
            return n
        
        base = [[1, 1], [1, 0]]
        res = self.matrixPower(base, n-2)
        return 2*res[0][0] + res[1][0]
    
    
    def matrixPower(self, m, p):
        res = [[0] * len(i) for i in m]
        for i in range(len(res)):
            res[i][i] = 1
        tmp = m
        while p!= 0:
            if p&1 != 0:
                res = self.muliMatrix(res, tmp)
            
            tmp = self.muliMatrix(tmp, tmp)
            p = p>>1
        return res
        
    
    def muliMatrix(self, m1, m2):
        res = [[0] * len(m2[0]) for _ in m1]
        for i in range(len(m1)):
            for j in range(len(m2[0])):
                for k in range(len(m2)):
                    res[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j]
        
        return res