图算法的总结

概览

最短路径

单源最短路径

Dijkstra
Bellman-Ford
SPFA

所有结点对

Floyd

最小生成树

Kruskal
Prim

拓扑排序
关键路径

【拓扑排序】

有向无环图（Directed Acyclic Graph，DAG）：有向图的任意一个顶点都不能通过一些边回到自身。

拓扑排序是将DAG图的所有结点排成一个线性序列，使得图中任意一个有向边(u->v)。在排序后，u一定在v的前面。（其实就是一个做事情的顺序，比如穿衣服，总是先穿内衣再穿外套的，即(内衣->外套)，这个顺序是不能反的。）拓扑排序后的序列又称拓扑序列。

拓扑序列的第一个顶点必然是没有前驱的，也就是它的发生不依赖其他事件的发生，即该结点的入度为0。如果有多个入度为0的点，它们之间的顺序是任意的（当有多个入度为0的点时，若要求选择结点编号最小的一个，就用priority_queue）。我们可以开一个int型数组inDegree[N]，inDegree[v]表示结点v的入度，该数组初始化为0并在数据输入的时候更新完毕。

(1).开一个队列q（queue或priority_queue），初始时把所有入度为0的结点push进队列；

(2).只要队列非空，就取出队首元素并访问它的所有邻接结点，并把所有邻接结点的入度减1，注意判断若此时某个节点的入度变为了0，就要入队；

(3).当队列为空时，如果入队元素恰好等于结点个数n，说明拓扑排序成功；否则，拓扑失败，说明图中有环。

拓扑排序一个很重要的应用就是判断给定的图是否是有向无环图。

下面给出一个有向图，n个结点m条边，结点编号为1~n，判断其是否为有向无环图，若是，输出其拓扑序列（若同时存在多个结点入度为0，选择结点编号最小的那个）。

代码：（数据来源 1146 Topological Order）

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn=100;
vector<int> adj[maxn];
int inDegree[maxn]={0};
vector<int> topoSeq;
int n,m;//结点数，边数

bool topoSort()
{
    //greater 让较小的数优先级较大
    priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> q;
    //priority_queue<int> q;
    //首先，让入度为0的点入队列
    for(int v=1;v<=n;v++)
        if(inDegree[v]==0) q.push(v);
    int cnt=0;//记录入队的结点个数
    while(!q.empty()){
        int u=q.top();
        topoSeq.push_back(u);
        q.pop();
        for(int i=0;i<adj[u].size();i++){
            int v=adj[u][i];
            inDegree[v]--;
            if(inDegree[v]==0) q.push(v);
        }
        cnt++;
    }
    if(cnt==n) return true;
    else return false;
}

int main()
{
    //freopen("pat.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int u,v;
    for(int i=0;i<m;i++){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        adj[u].push_back(v);
        inDegree[v]++;
    }
    bool flag=topoSort();
    if(flag) {
        printf("Yes\n");
        for(auto it:topoSeq) printf("%d ",it);
    }else{
        printf("No\n");
    }
    return 0;
}

猜你喜欢