关于神经网络的一些基本概念在这里就不做介绍,首先我们进行一些概念和符号上的约定。
假设一个矩阵如下:
点乘:
叉乘: *
已知数据: 矩阵X为训练数据集,矩阵y为训练数据集的标签
最简单的神经网络
最简单的神经网络就是只有输入层和输出层的网络结构(双层神经网络)。
关于激活函数简单介绍:
如果不使用激活函数,那么就与多层感知机(MLP)相当。引入之后,下一层的输入就不再是线性组合,输出就有意义。
如果不使用激活函数,那么输入与输出都是线性变换,无法做到非线性分类。
激活函数
这是公式,值域为[0,1],它的导数自证。
作用:
- 引入非线性因素
- 线性变换
- 激活函数,并不是去激活什么,而是指如何把“激活的神经元的特征”通过函数把特征保留并映射出来(保留特征,去除一些数据中是的冗余。激励就是样本的特征值),这是神经网络能解决非线性问题关键。
sigmoid
的导数,即使用了deriv=True
。
作用:用它的输出创建它的导数,降低高信度预测的错误
注意:如果神经网络提前达到预期的结果(损失函数小于一定的范围),可以提前终止
# coding: utf-8
# 矩阵计算
import numpy as np
# 生成随机数
import random
# 定义激活函数, 这里用sigmoid函数
def sigmoid(x, deriv=False):
# 如果满足条件就返回sigmoid的导数
if (deriv == True):
return x * (1 - x)
# 不满足直接返回sigmoid函数
return 1 / (1 + np.exp(-x))
# 指定训练数据, X规模为4x3, y规模为4x1
X = np.array([[0,0,1],[0,1,1],[1,0,1],[1,1,1]])
y = np.array([[0,1,1,0]]).T
# 初始化权重数据, 用随机数进行初始化,矩阵规模3x1
syn_0 = 2 * np.random.random((3, 1)) - 1
# 进行迭代
for _ in range(10000):
# 输入层为训练数据
l0 = X
# np.dot表示叉乘, 进行激活操作, 输出层
l1 = sigmoid(np.dot(l0, syn_0))
# 计算偏差
l1_error = y - l1
# 误(偏)差加权导数。偏差乘以sigmoid在l1处的斜率,用以更新权重
l1_delta = l1_error * sigmoid(l1, deriv=True)
syn_0 += np.dot(l0.T, l1_delta)
# 训练完成,输出l1看看
print(l1)
三层神经网络
增加了一层网络,在输入层和输出层中间。这里做一个规定,在输入层和输出层之间的网络结构我们称为隐藏层。
一层隐层网络就是一层特征层次,每一个神经元可以类似看作一个特征属性
# coding: utf-8
import numpy as np
import random
def sigmoid(x, deriv=False):
if (deriv == True):
return x * (1 - x)
return 1 / (1 + np.exp(-x))
X = np.array([[0,0,1],[0,1,1],[1,0,1],[1,1,1]])
y = np.array([[0,1,1,0]]).T
# 初始化权重数据, 用随机数进行初始化, 这里的规模同X、y矩阵的规模
syn_0 = 2 * np.random.random((3, 4)) - 1
syn_1 = 2 * np.random.random((4, 1)) - 1
for _ in range(10000):
l0 = X
l1 = sigmoid(np.dot(l0, syn_0))
# 加了一层神经网络,称为隐藏层
l2 = sigmoid(np.dot(l1, syn_1))
l2_error = y - l2
l2_delta = l2_error * sigmoid(l2, deriv=True)
# 计算完l2的误差之后,再用结果去计算l1的误差
l1_error = np.dot(l2_delta, syn_1.T)
l1_delta = l1_error * sigmoid(l1, deriv=True)
syn_1 += np.dot(l1.T, l2_delta)
syn_0 += np.dot(l0.T, l1_delta)
print(l1)
改进神经网络v1.0——增加梯度
A Neural Network in 13 lines of Python (Part 2 - Gradient Descent)
关于梯度的定义请自行了解。
增加了梯度可以更快的找到较为理想的结果。
关于梯度上升有下面几种方法(梯度下降同理):
原始的梯度上升
目标:找到某个函数的最大值。每次沿函数的梯度方向探寻。一直进行迭代,直到到达某个停止条件(迭代次数限制或某个误差范围)
随机梯度上升(SGD)
不同点在于,第一种方法每次是遍历所有的数据集(一百以内的数据集可以接受用上面的方法)。而随机梯度则是只使用一个样本点来更新回归系数。
改进版随机梯度上升
用随机的一个样本来更新回归系数。
批梯度上升
切分样本集,随机取出切分后的某些样本,进行遍历
损失函数(代价函数)
二次代价函数
交叉熵代价函数
对数似然函数
前向传播是函数求偏导,反向传播减少了这个计算量
# coding: utf-8
import numpy as np
import random
def sigmoid(x, deriv=False):
if (deriv == True):
return x * (1 - x)
return 1 / (1 + np.exp(-x))
X = np.array([[0,0,1],[0,1,1],[1,0,1],[1,1,1]])
y = np.array([[0,1,1,0]]).T
syn_0 = 2 * np.random.random((3, 4)) - 1
syn_1 = 2 * np.random.random((4, 1)) - 1
# 加入步长
alphas = [0.001,0.01,0.1,1,10,100,1000]
for alpha in alphas:
for _ in range(10000):
l0 = X
l1 = sigmoid(np.dot(l0, syn_0))
# 加了一层神经网络,称为隐藏层
l2 = sigmoid(np.dot(l1, syn_1))
l2_error = y - l2
l2_delta = l2_error * sigmoid(l2, deriv=True)
# 计算完l2的误差之后,再用结果去计算l1的误差
l1_error = np.dot(l2_delta, syn_1.T)
l1_delta = l1_error * sigmoid(l1, deriv=True)
# 更新权重的时候加入步长
syn_1 += alpha * np.dot(l1.T, l2_delta)
syn_0 += alpha * np.dot(l0.T, l1_delta)
print("alpha:", alpha, "l1:", l1)
改进神经网络v2.0——增加隐层
更改网络的神经元个数,这个可能就是所谓的玄学调参
# coding: utf-8
import numpy as np
import random
def sigmoid(x, deriv=False):
if (deriv == True):
return x * (1 - x)
return 1 / (1 + np.exp(-x))
X = np.array([[0,0,1],[0,1,1],[1,0,1],[1,1,1]])
y = np.array([[0,1,1,0]]).T
# 定义神经元个数,随机
hidden_dim = np.random.randint(2, 8)
syn_0 = 2 * np.random.random((3, hidden_dim)) - 1
syn_1 = 2 * np.random.random((hidden_dim, 1)) - 1
for _ in range(10000):
l0 = X
l1 = sigmoid(np.dot(l0, syn_0))
l2 = sigmoid(np.dot(l1, syn_1))
l2_error = y - l2
l2_delta = l2_error * sigmoid(l2, deriv=True)
l1_error = np.dot(l2_delta, syn_1.T)
l1_delta = l1_error * sigmoid(l1, deriv=True)
syn_1 += np.dot(l1.T, l2_delta)
syn_0 += np.dot(l0.T, l1_delta)
print(l1)
改进神经网络v3.0——dropout
Hinton’s Dropout in 3 Lines of Python
增加dropout_percent。目的是为了防止过拟合,一种正则化的手段。在迭代的时候,对某一(几)层神经网络进行drop_out。这里举例用二项分布采样的方法进行。np.random.binomial(n, p, size=None)
。
Dropout是指在模型训练时随机让网络某些隐含层节点的权重不工作,不工作的那些节点可以暂时认为不是网络结构的一部分,但是它的权重得保留下来(只是暂时不更新而已)。
一些理由解释:
- 权值的更新不依赖于一些固定关系隐含节点的共同作用。阻止了某些特征仅仅在其它特定特征下才有效果的情况。即随机选取当前隐含层的部分节点
- 模型平均概念(选取每次计算过程的相对最优解),使用了
dropout
之后每次的网络结构不同,样本不同对应的输出模型也不同。(个人感觉有点像加入随机) - 生物进化解释,不断适应变化情况,有效阻止过拟合(避免环境改变物种面临死亡)
- 朴素贝叶斯(native bayes)属于dropout的一种特例:各个特征之间相互独立。在训练样本少的情况下,单独对每个特征进行学习(dropout是训练一部分特征)。
这里假设对 进行drop_out。
定义len(x)=3, hidden_dim=4, dropout_percent=0.2
代入数值计算,
np.random.binomial([array([[ 1., 1., 1., 1.],
[ 1., 1., 1., 1.],
[ 1., 1., 1., 1.]])], 0.8)[0] * (1/0.8)
# 默认的dropout_percent是0.5, 即如果不加如dropout_percent的话
# 如果是对图像进行操作的话,建议不超过0.25
dropout_percent = 0.2
...
l1 *= np.random.binomial([np.ones((len(X), hidden_dim))],1 - dropout_percent)[0] *(1.0/(1 - dropout_percent))
...
P.S:
对二项分布进行采样。这里的n为[np.ones((len(X), hidden_dim))]
,p为1-dropout_percent
np.random.binomial(n, p, size=None)
公式如下: