逆元及其求法

一.逆元是什么？为什么引入逆元

（1）逆元，又称为数论倒数。这里和普通的倒数是不一样的，普通倒数可能为小数，而数论倒数一定是个整数。

数论概念：对于正整数 aa 和 pp，如果有 ax≡1(modp)，那么把这个同余方程中 x 的最小正整数解叫做 a模 p的逆元。

即 ax % p = 1中 x 的最小正整数解就是a关于模数p的逆元。

（2）为什么引入逆元？（只适用于除法取模运算）

这里引入取模的概念：

a + b) % p = (a%p + b%p) %p （对）

(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （对）

(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （对）

(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错）

我们都知道取模运算对于除法是不成立的，那么如果模运算中出现了除法是不是就无法计算了呢？伟大的数学家于是给出了逆元这个东西。

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ax % p = 1，这里x不一定等于 1 / a ，因为加入了取模。比如 3 * 2%5 = 1 ，这里的2不就相当于 1 / 3的作用吗？于是我们就说 2 是3关于模数5的逆元。这就是逆元产生的意义。于是，我们在计算除法取模时，可以把除数变为他的逆元，把除法取模运算变为乘法取模运算，在二式等价背景下，变除为乘，间接实现取模运算，这就是逆元的魅力！（我们下面用inv（a）代表a的逆元）

由上可知：（a/b）%p = （a * inv（b））%p = （a%p * inv（b）%p）%p （即除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模）

二、如何求逆元

（1）费马小定理（要求：模数p为素数，且a 与 p互质即gcd（a,p） == 1）

由费马小定理知： a^(p-1) ≡ 1（mod p）即 a^（p-1）%p = 1

已知：a*inv（a）%p = 1

所以：a*inv（a）%p = a^（p-1）%p

则：inv（a）%p = a^（p-2）%p

于是这里用到矩阵快速幂 + 费马小定理来求逆元。

代码：

LL power(LL a,LL b)//快速幂
{
    a%=p;
    LL ans = 1;
    while(b){
        if(b&1)ans = (ans*a)%p;
        b>>=1;
        a = (a*a)%p;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    while(scanf("%lld%lld",&n,&p)!=EOF&&n){
        printf("%lld\n",power(n,p-2));//求n关于p的逆元
    }
    return 0;
}

时间复杂度 O（log（p）)

（2）拓展欧几里得算法求逆元（不要求模数p为素数，要求a， p互质即gcd（a,p）==1 ）

我们知道拓展欧几里得求解： ax + py = 1（a与p互质即gcd（a,p） = 1）

则： ax%p + py%p = 1%p

即：ax % p = 1%p

即： ax ≡ 1（mod p）

所以x的最小整数解就是a关于p的逆元，所以我们只要求解 ax + py = 1的最小正整数解 x 即可

代码：

LL ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(b==0){x = 1;y = 0;return a;}
    int ans = ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int temp = x;
    x = y;
    y = temp - (a/b)*y;
    return ans;
}
LL inv(LL a,LL b){
    LL x,y;
    int ans = ex_gcd(a,b,x,y);
    if(x<0)x = (x%b + b)%b;//有可能<0，我们让他>0
    if(ans==1)return x;//ab互斥有解
    else return -1;//否则返回-1
}
int main()
{
    while(scanf("%lld%lld",&n,&p)!=EOF&&n){
        printf("%lld\n",inv(n,p));
    }
    return 0;
}

时间复杂度 O（log（p）)

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