LG T43830 Chino的成绩

题目背景

此题为汕头某中学dalao提供

由其学校内部赛原题改编，并非原题且并未公开

原出题人@月见之兔

曾经幻想过未来的风景

或许有着另外一片天

小镇的远方

有着深远的回忆

也有着富有深情的诗篇

题目描述

Chino非常注重自己的成绩

Chino有 $m$ 种方式给自己增加 $rp$ 以增加成绩，她的每种增加 $rp$ 的方式都有 $n$ 个阶段，第 $i$ 种的第 $j$ 个阶段增加的 $rp$ 表示为 $A_{ij}$ ，表示连续进行了 $j$ 天第 $i$ 种增加 $rp$ 的方式

Chino连续进行同一种方式，效果可能更好也可能更差，她想要知道在 $n$ 天里能获得的最大 $rp$ ，你能帮帮可爱的Chino吗？

输入输出格式

输入格式：

第一行，两个正整数 $n$ ， $m$

接下来 $m$ 行，第 $i+1$ 行为 $n$ 个整数( $A_{i1} - A_{in}$ )

输出格式：

一行一个数，最大的 $rp$

输入输出样例

输入样例#1： 复制

输出样例#1： 复制

输入样例#2： 复制

输出样例#2： 复制

说明

本题分为3个Subtask

第一个Subtask，2组数据，保证 $n \leq 50$ ， $m \leq 5000$ ， $a_i \leq 1e9$

对于第二个Subtask，4组数据，保证 $n \leq 70$ ， $m \leq 10000$ ， $a_i \leq 1e9$

对于第三个Subtask，4组数据，保证 $n \leq 100$ ， $m \leq 5000$ ， $a_i \leq 1e9$

其中每组数据4分，对于每个Subtask及其中的每个数据点，取分数和。

样例解释1

第 $1$ 天进行第 $1$ 项活动，获得 $A_{11}=3$ 点rp。

第 $2$ 天进行第 $2$ 项活动，获得 $A_{21}=3$ 点rp。

第 $3$ 天进行第 $1$ 项活动，获得 $A_{11}=3$ 点rp。

样例解释2

第 $1$ 天进行第 $2$ 项活动，获得 $A_{21}=3$ 点rp。

第 $2$ 天进行第 $2$ 项活动，获得 $A_{22}=5$ 点rp（因为已经连续进行了 $2$ 次第 $2$ 项活动，因而是 $A_{22}$ 而不是 $A_{21}$ 。

第 $3$ 天进行第 $3$ 项活动，获得 $A_{31}=4$ 点rp。

看到题目基本上可以确定这题是道dp题，但是怎么dp我没有想出来
一开始当背包做的，想出来 $O(n^2m^2)$ 的做法，肯定过不了就没打。以为直接背包可以骗一点分，但是并没有。。。
心态就很爆炸，赛后看了题解才会做这道题
我的dp还是弱啊。。。

先是读进来的时候顺便做前缀和，方便一会dp
然后怎么做dp
状态的参数有两个，用 $f_{i,j}$ 表示第i天做的是第j个方案的最大收益
那么 $f_{i,j}=\max(f_{i-t,k}+a_{j,t})$ ， $k!=j,t<=i$
那就可以枚举 $i,j,t,k$ ，但是这样的复杂度是 $O(n^2m^2)$ 的
但是注意到，我们只会用到 $f_{i-t,k}$ 中的最大值或次大值
那么我们只需要在递推的时候记录一下即可，无需枚举k，也就是说这里可以贪心
t是要枚举的，这里并不能贪心，因为取 $f_{i-t,k}$ 的最大值和取 $a_{j,t}$ 的最大值都不能保证最优，两者的最大值又不一定能同时取到
这样的复杂度就是 $O(n^2m)$ 的了，这题可以过
那么我们就记录对于每一个 $i,i∈[1,n]$ 的最大值b[i]和次大值sb[i]以及它取到最大值时的方案编号bi[i]
然后就还有一些代码细节问题了，比如题解的代码的每个i的最大和次大的处理就比较厉害，如果当前值>扫过的当前的最大值，交换当前值与扫过的当前的最大值，然后再把当前值与次大值比较，可能说比较不太清晰，看代码就会比较清晰

–
代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define For(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
using namespace std;
inline int read()
{
    char c;
    bool t=0;
    int a=0;
    while((c=getchar())==' '||c=='\n'||c=='\r');
    if(c=='-')
    {
        t=1;
        c=getchar();
    }
    while(isdigit(c))
    {
        a*=10;
        a+=(c-'0');
        c=getchar();
    }
    return a*(t?-1:1);
}
int n,m,a[10010][101],b[110],bi[110],sb[110];
inline int get(int i,int j)
{
    return bi[i]==j?sb[i]:b[i]; 
}
int main()
{
    int temp;
    n=read();m=read();
    For(i,1,m)
     For(j,1,n)
     { 
        a[i][j]=read();
        a[i][j]+=a[i][j-1];
     }
    For(i,1,n)
     For(j,1,m)
     {
        temp=0;
        For(k,1,i)
         temp=max(temp,get(i-k,j)+a[j][k]);
        if(temp>b[i])
        {
            swap(temp,b[i]);
            bi[i]=j;
        }
        if(temp>sb[i])
         sb[i]=temp;
     }
    printf("%d",b[n]);
    return 0;
}