版权声明:本人所有博客,均为合法拥有版权或有权使用的作品,未经本人授权不得转载、摘编或利用其它方式使用上述作品。已经本人授权使用作品的,应在授权范围内使用,并注明原博客网址。违反上述声明者,本人将追究其相关法律责任。 https://blog.csdn.net/weixin_38071135/article/details/80528277
电磁学乱七八糟的符号(四)
@(study)[Maxe, markdown_study, LaTex_study]
author:何伟宝
这里重点是一般传输规律和矩形波导,chapter6 电磁波的传输
纵向场量法
说白了也就是从麦克斯韦方程式抽象出我们需要的波动方程,流程如下:
矢量波动方程
在无源自由空间场量中(由麦克斯韦方程式):
∇2E⃗ +k2E⃗ =0(1.1)
∇2H⃗ +k2H⃗ =0(1.2)
在波导中,设电磁波沿着z轴传输:
E⃗ (x,y,z)=E⃗ (x,y)eγr(1.3)
H⃗ (x,y,z)=H⃗ (x,y)eγr(1.4)
其中有:
行波因子
γ
在上一章说过他也是一个传播常数,当
γ
为实数时,信号衰减.虚数时信号传播,且波数为其虚部
矢量分解
这里有意地把纵横量分开了:
E⃗ =(a⃗ xEx+a⃗ yEy)+a⃗ zEz
H⃗ =(a⃗ xHx+a⃗ yHy)+a⃗ zHz
顺便把拉普拉斯算符
∇
也分开:
∇2t=(∂2∂x2+∂2∂y2)+∂2∂z2=∇2xy+∂2∂z2
标量波动方程
将矢量分解的三个方程先带入(1.3)(1.4)再代入(1.1)(1.2),只截取纵向分量得:
∇2xyE⃗ z+(k2+γ2)E⃗ z=0
∇2xyH⃗ z+(k2+γ2)H⃗ z=0
再将上式改写成(1.3)(1.4)形式:
Ez(x,y,z)=Ez(x,y)E−γz
Hz(x,y,z)=Hz(x,y)H−γz
考虑麦克斯韦方程的旋度式:
∇×E⃗ =−jωμH⃗
∇×H⃗ =jωεE⃗
联立上四式可得六个标量方程:
∂Ez∂y+γEy=−jωμHx(标量1)
−γEx−∂Ez∂x=−jωμHy(标量2)
∂Ey∂x−∂Ex∂x=−jωμHz(标量3)
千万不要慌,由麦克斯韦美好的对称性可以知道,我们只要算一对叉乘就可以了,由对称性:
∂Hz∂y+γHy=jωεEx(标量4)
−γHx−∂Hz∂x=jωεEy(标量5)
∂Hy∂x−∂Hx∂x=jωεEz(标量6)
纵横关系式
联立以上六式可得(解这个会有点痛苦,但是这不重要)纵横关系式:
Ex=−1k2c(γ∂Ez∂x+jωμ∂Hz∂y)(e.x)
Ey=−1k2c(γ∂Ez∂y−jωμ∂Hz∂x)(e.y)
Hx=−1k2c(γ∂Hz∂x−jωμ∂Ez∂y)(h.x)
Ex=−1k2c(γ∂Hz∂x+jωμ∂Ez∂x)(h.y)
其中:
k2c=k2+γ2
如果不用书本的表示方法的话,你会发现一点公式的美学…
自此,纵向常量法就介绍完成了.这里的重点在于纵横关系式
各种导波的一般传输特性
概述
这一小节解决的问题是,某种电磁波要在波导中传输的存在可能性问题.重点有TEM,TE,TM波等.并且提供假设各种波存在的时候,怎么求解波动方程的思路.
TEM横电磁波
还是回到我们熟悉的波动方程,可以把上面的纵横关系式:
∇2xyEz+k2cEz=0(波动1)
∇2xyHz+k2cHz=0(波动2)
显然这一节的教材安排是不合理的…因为在TEM波中:
Ez=0,Hz=0
显然代入纵横关系式中,全军覆没……所以分析横电磁波的时候不能采用纵向常量法得到直接表达式
这时候我们可以代入得到纵横关系式前面一点的关系式中:
k2c=0或γ2+k2=0(2.1)
∇2xyE⃗ (x,y)=0∇2xyH⃗ (x,y)=0(tem)
那么我们就可以知道,代入纵横关系式会凉凉的原因是,(tem)他看上去就是一个静态场的方程,用麦克斯韦旋度式便变成0了.
这也启发我们,在求解TEM波动方程的时候,之需要先算出导波的横向分布函数,再乘以纵向传播因子
e−γz
就可以得到波动方程了.而且并不是每一种波导都会有TEM模.
存在条件
首先说明的一点是:空心波导只能传输TM或TE波,不能传输TEM波,因为在无外源的无限长导体空管中不可能存在静电场
书上P175,结合来看吧..(懒得打字)
TEM传播常数和相速
由(2.1)可知
γ=α+jβ=jk=jωεμ−−√
解得
α=0,β=ωεμ−−√
所以相速为:
v=ωβ=1εμ−−√
可以看出TEM模导行波是与频率无关的非色散波
TEM的波阻抗
由(标量2)和(标量6)并代入TEM的定义式:
γEx=jωμHy
γHy=jωεEx
代入
γ=jωεμ−−√
得(注意,求解不是联立.只要用其中一条代入就行了)
ZTEM=ExHy=με−−√=η
可以看出,
ZTEM
和频率是没有关系的.
所以:
TEM模在任何频率下都能传播非色散横电磁波
TE nor TM
在TM波中,
Ez≠0
和
Hz=0
.所以只需要代入(波动1),同理:
在TE波中,
Hz≠0
和
Ez=0
.所以只需要代入(波动2)
存在条件
可以看出,无论是哪一种,
k2c
都不会等于0,所以:
γ2+k2≠0
被称为波导中TM波和TE波的存在条件。
传播常数和截止频率
由传播因子
e−jγz
可以知道,在
e−γz→0
时,传播截止.这个时候有
γ→1
所以有:
γ=k2c−ω2cεμ−−−−−−−−√=0
解得:
fc=kc2πεμ−−√
其中,
fc
被称为
截止频率或临界频率(c to cut),所以反过来求
γ
得:
γ=⎧⎩⎨⎪⎪jk1−(fcf)2−−−−−−−√=jβf>fckc1−(fcf)2−−−−−−−√=αf<fc
可以看出:
当
f<fc
时,传播因子变成了
e−αz
,是一个衰减型凋落场
当
f>fc
时,传播因子变成了
e−jβz
,表示一个传播型色散行波
相速和波导波长
当
f>fc
时,因为是一个色散波,我们可以来讨论一下他的相速,由上面:
β=k1−(fcf)2−−−−−−−−√
所以有,相速:
vp=ωβ=v1−(fcf)2−−−−−−−√>v
波导内波导行波的波长称为波导波长:
λg=2πβ=2πk11−(fcf)2−−−−−−−√=λ1−(fcf)2−−−−−−−√>λ
表明导行波是与频率有关的色散行波
波阻抗
TM波
由纵横关系式,结合tm波的特征可得:
Ex=−γk2c∙∂Ez∂x
Ey=−γk2c∙∂Ez∂y
Hx=jωεk2c∙∂Ez∂y
Ey=−jωεk2c∙∂Ez∂x
所以定义TM波的波阻抗为:
ZTM=ExHy=−EyHx=γjωε
消去
γ
得:
ZTM=⎧⎩⎨⎪⎪η1−(fcf)2−−−−−−−√=RTM,f>fc−jkcωε1−(fcf)2−−−−−−−√=−jXTMc,f<fc
TE波
按照TM波的套路,代入
Ez=0
得:
ZTM=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪η11−(fcf)2√=RTE,f>fcjμωkc11−(fcf)2√=jXTEc,f<fc
互易性
由上面可以得出:
ZTM∙ZTE=η2=(ZTEM)2
可以看到TE和TM波的波阻抗具有互易性
矩形波导
这里也是要做纵横关系式求解的最后一步,代入边界条件
由前面就可以知道,矩形波导不能传播TEM波
首先假设矩形波导的数学模型:
长a宽b壁导体
先上一张图辅助一下大家后面看边界条件的法向还是切向
TM(图的右边)
边界条件:
(∂2∂x2+∂2∂y2+k2c)Ez(x,y)=0
{Ez|x=0=0,Ez|x=a=0Ez|y=0=0,Ez|y=b=0
其中
k2c=γ2+k2
称为截止波数.
公式的意义是很明确的:
传播TM波的时候矩形波导的边界都没有电场强度
以下是我以为的原因(有异议可以评论,大家互相学习一下)
1. 一个原因(一对边)在于,边界条件中,法向的电场强度连续,而理想导体内部没有电磁场
2. 另一对边是因为,上一章说过的趋肤效应导致的,而由于是
σ=∞
所以就为0了
纵向解
由于我们想求的纵横关系式中,x和y是独立分开的.所以假设:
Ez(x,y)=X(x)Y(y)
代入波动方程并化成常微分方程得:
d2Xdx2+k2xX=0
d2Ydx2+k2yY=0
其中:
k2c=k2x+k2y
显然特征方程的根是两个纯虚数,故设通解:
X(x)=Asinkxx+Bcoskxx
Y(y)=Csinkyy+Dcoskyy
分别代入边界条件可得(书上P176):
Ez(x,y)=E0sinmπaxsinnπby,m,n=1,2,3......
其中:
E0=AC
由激励源强度确定
大概的思路是先带入x=0和y=0那两条,算出B,D=0再代入剩下两条即可.
横向解
现在求出了
Ez
的表达式,显然,代入一般情况可得:
Ex=−γk2c(mπa)E0cosmπaxsinnπby
Ey=−γk2c(nπb)E0sinmπaxsinnπby
Hx=jωεk2c(nπb)E0sinmπaxcosnπby
Hy=jωεk2c(mπa)E0sinnπbxcosmπay
其中:
kc=γ2+k2−−−−−−√=k2x+k2y−−−−−−√=(mπa)2+(nπb)2−−−−−−−−−−−−−√
由TE,TM的存在条件可以知道,当m=n=0时,方程无意义
TE(图的左边)
由于和TM是同一个套路,这里就直接给公式了:
边界条件
(∂2∂x2+∂2∂y2+k2c)Hz(x,y)=0
{Hz|x=0=0,Hz|x=a=0Hz|y=0=0,Hz|y=b=0
纵向解
Hz(x,y)=H0cosmπaxcosnπby,m,n=1,2,3......
横向解
Ex=jωεk2c(nπb)H0cosmπaxsinnπby
Ey=−jωεk2c(mπa)H0sinmπaxcosnπby
Hx=γk2c(mπa)H0cosnπbysinmπbx
Hy=γk2c(nπb)H0sinmπaxsinnπby
同理:m=n=0时,公式无意义
横场分布的物理特性
这里对应的是P178,下面列举出来只作复习回想用:
- 沿x,y的驻波性和z向的行波性
- 平面波的非均匀性
- 场的多模性
- 模式的兼并性
- 模式的阶次性
导波的纵场传输特性*
截止性(高通特性)
之前在一般传输特性就讲过这个问题,只是k可以由m和n给出,所以回代得:
kc=γ2+k2−−−−−−√=k2x+k2y−−−−−−√=(mπa)2+(nπb)2−−−−−−−−−−−−−√
fc−kc2πεμ−−√=12εμ−−√(ma)2+(nb)2−−−−−−−−−−−√
λc=2πkc=2(ma)2+(nb)2−−−−−−−−−−√
色散性和滤波性
由上一个性质可以知道,在截取频率之前的波形都会因为传播常数的实部不为0而全部被去掉
所以当f>
fc
时(
α=0
):
β=ω2εμ−(mπa)2−(nπb)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
λg=2πβ=2πω2εμ−(mπa)2−(nπb)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√
vp=ωβ=ωω2εμ−(mπa)2−(nπb)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√
阻抗双重性
这个由截止性就知道,低于截止频率的波阻抗呈阻性,高于的呈电抗性:
ZTM=γjωε=⎧⎩⎨⎪⎪1ωεω2εμ−(mπa)2−(nπb)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√=RTM,f>fc−j1ωε(mπa)2+(nπb)2−ω2εμ−−−−−−−−−−−−−−−−−√=−jXTMc,f<fc
ZTE=jωμγ=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪1ωμ1ω2εμ−(mπa)2−(nπb)2√=RTM,f>fcjωμ1(mπa)2+(nπb)2−ω2εμ√=jXTMc,f<fc
主模
TE10
的传输特性
用主模传输的重点问题在于单模传输 单模传输 单模传输 单模传输
场分布
至于为什么
TE10
是主模的话,就不说了,你只要把 m,n的各个值代进去纵横关系式,就可以知道了
Ey=ωμaπH0sinπaxcos(ωt−βz−π2)
Hx=βaπH0sinπaxcos(ωt−βz+π2)
Hz=H0cosπaxcos(ωt−βz)
…其他三个为0…
传输特性
根据前面说的那些,代入m=1,n=0得:
fc=12aεμ−−√
λc=2a
β=k1−(fcf)2−−−−−−−−√=ω2εμ−(πa)2−−−−−−−−−−√
λg=2πβ=2πk11−(fcf)2−−−−−−−√=2πω2εμ−(πa)2−−−−−−−−−−√
vp=ωβ=v1−(fcf)2−−−−−−−√=ωω2εμ−(πa)2−−−−−−−−−−√
ZTE=η11−(fcf)2−−−−−−−√=ωμ1ω2εμ−(πa)2−−−−−−−−−−√
结语
因为这里写了比较多的波动方程,所以会有点长!