前言:什么是莫队
莫队算法,是一个十分优雅的暴力。
普通的莫队可以轻松解决一些离线问题,但是,当遇上了一些有修改操作的问题,普通莫队就无能为力了。
于是,改进后的莫队——带修莫队就这样产生了。
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普通莫队详见博客莫队算法学习笔记(一)——普通莫队
接下来,我们一起在普通莫队的基础之上,学会带修莫队这个强大无比的算法。
第一个问题:如何处理修改
既然是带修莫队,那么第一个关键问题就是如何处理修改。
其实,我们可以增加一个变量,来记录对于每一个询问操作,在进行询问之前一共进行了多少次修改,然后对于每一次询问,只要像普通莫队的 指针和 指针一样新增一个 指针来表示当前进行了多少次修改,而 指针的移动也与 指针和 指针是类似的。
模板如下:
register int L=0,R=0,K=0,ans=0;
for(sort(q+1,q+q_num+1,cmp),i=1;i<=q_num;++i)
{
while(K<q[i].k) Change(++K);
while(K>q[i].k) Change(K--);
while(R<q[i].r) Add(++R);
while(L>q[i].l) Add(--L);
while(R>q[i].r) Del(R--);
while(L<q[i].l) Del(L++);
res[q[i].pos]=ans;
}
而 函数、 函数和 函数里面的内容自己视题意而定。
第二个问题:如何写排序函数
现在加上了一个 变量来表示在每个询问之前进行了几次操作。
那么,现在的排序函数 应该怎么写呢?
首先,应该判断 是否在同一块内,如果相同,就返回 。
然后,应该判断 是否在同一块内,如果相同,就返回 。
最后,再比较 的大小,即返回 。
模板如下:
inline bool cmp(Query x,Query y)
{
if(pos[x.l]^pos[y.l]) return pos[x.l]<pos[y.l];//判断l是否在同一块内,如果相同,就返回pos[x.l]<pos[y.l]
if(pos[x.r]^pos[y.r]) return pos[x.r]<pos[y.r];//判断r是否在同一块内,如果相同,就返回pos[x.r]<pos[y.r]
return x.k<y.k;//比较k的大小,即返回x.k<y.k
}
第三个问题:块的大小
学过莫队的人应该都知道,莫队算法需要分块。
那么带修莫队块的大小应该是多少呢?
我们就需要对这个算法的时间复杂度进行一波分析。
首先我们假设块的大小为 (其中 1),并假设 的大小与 差不多。
那么我们分别考虑3个指针的移动:
对于 指针
- 在块内移动时,每一次移动的复杂度应为 ,由于共有 次询问,因此总复杂度为 。
- 到下一个块时,每一次移动的复杂度应为 ,由于块的大小为 ,因此总块数为 ,因此总复杂度为 。
指针的总复杂度为 。
对于 指针
- 和 全都在块内移动时,每一次移动的复杂度应为 ,由于这样的情况共有 ,即 次,因此总复杂度为 。
- 块相同且 到下一块时,每一次移动的复杂度应为 ,由于总块数为 ,即 ,因此总复杂度为
- 指针移动到下一个块时,每一次移动的复杂度应为 ,由于这样的情况共有 ,即 次,因此总复杂度为 。
指针的总复杂度为 。
对于 指针
- 和 全都在块内移动时,此时 指针应该是递增的(因为排序时对于这样的情况我们 ),所以总复杂度为 。
- 块相同且 到下一块时,每一次移动的复杂度应为 ,由于这样的情况有 次,因此总复杂度为 。
- 指针移动到下一个块时,每一次移动的复杂度应为 ,由于这样的情况共有 次,因此总复杂度为 。
指针的总复杂度为 。
综上所述,算法的总时间复杂度应为 ,那么我们的目的就是找到一个 ( )使 最小。
此时的 应取 ,所以块的大小就是 。
第四个问题:时间复杂度
呃,我想这个问题应该已经在上个问题中解决了。
带修莫队的时间复杂度应为 。
例题
带修莫队这样差不多就讲完了,下面给一道例题:
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【BZOJ2120】数颜色 的题解详见博客【BZOJ2120】数颜色(带修莫队)