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简单组合学(3)
Polya计数定理(1)
§
1 引言
在固定的正六边形顶点上摆放一个黑球、一个红球和四个白球的方法有多少种,读过初中的人一定能够轻而易举地得到答案,读过小学的人也能够枚举所有结果,答案是
6×5=30
种.
但是如果不固定呢?学过高中化学的应该有所印象,一共是
3
种(联系一下二甲苯的种类,这三种分别是对二甲苯,间二甲苯和邻二甲苯).
之所以有这种不同,是因为后者不同摆放的方式因为结构相同的原因而被重复计算了,这就使得得到的结果是错误的.
§
2 对称群
1.置换与轮换
对于一个三角形来说,调换顶点的方式,称为运动(几何置换).
列举出等边三角形ABC的所有置换:
(AABBCC)、(AABCCB)、(ABBACC)、 (ACBBCA)、(ABBCCA)、(ACBACB)
显然这又可以写成
I=(A)(B)(C)、X=(A)(B C)、Y=(AB)(C)、P=(A C)(B)、Q=(A B C)、R=(A C B)
置换,轮换如何去写,基本在所有的近世代数或者抽象代数的书里都会有涉及,另外这种记法也是简明易懂的,所以在这里就不会去解释是怎么来的.
2.群与子群
集合
G
及运算
∘
满足
(1)(2)(3)结合律,a∘(b∘c)=(a∘b)∘c.存在单位元,∃e∈G,s.t∀x∈G,x∘e=e∘x=x每个元素存在逆元,∀x∈G,∃b∈G,s.t.a∘b=e,e由(2)定义
集合
G
及运算
∘
就组成了一个代数系统,称为群.
Example 2.1
在1的置换中,对于任意三角形ABC,如果先进行一次Q置换,再进行一次R置换,所得到的三角形与原来没有任何差别,另外我们发现进行一次I置换和原来没有任何差别.我们知道置换的本质就是一个映射,那么由映射的复合:
Q∘R=I
.另外可以发现以下表运算.
a∘bIXYPQRIIXYPQRXXIQRPYYYRIQXPPPQRIYXQQYPXRIRRPXYIQ
所以三角形的运动组成了一个对称群(显然,我们可以看见群不一定满足交换律!).
群
G
的子集
H
上的运算如果依然满足群的定义,那么把
⟨H,∘⟩
称为
G
的子群,显然在上例中,
{I,X,Y,P}
是
G
的子群,
{I,Q,R}
也是
G
的子群(习惯问题,群也可以指为运算中的集合).
并且如果把
Sn
称为n顶点中的所有置换组成的群,三角形的运动恰巧组成了
S3
(事实上正n边形的运动不一定都与置换群相等).
Example 2.2
如果在空间取定一个立方体
1234−5678
,对其以任意角度进行旋转,其中有部分运动构成对称的置换.
(1)(2)(3)(4)单位元θ对定体1234−5678进行不动变换;以对面心连线为轴的旋转,一共三个,每个轴有四个不同的旋转(x⋅90∘);以对顶点连线为轴的旋转,一共四个,每个轴有三个不同的旋转(x⋅120∘);以对边中点连线为轴的旋转,一共六个,每个轴有两个不同的旋转(x⋅180∘);
(csdn这里加载得好丑!不得不用
$
$…
$
$了)
但是(2)(3)(4)均包括了一个不动变换,因此一共有
1+3(4−1)+4(3−1)+6(2−1)=24
个不同的对称置换,这
24
个不同置换构成了立方体的旋转群,可以知道这直接确定了六元(面)、八元(边)、十二元(顶点)的
24
阶置换群.
Example 2.3
如果令
π=(1 2 … N)
为N-轮换,则其对正N边形上顶点进行置换,并且所有的
π
复合构成群,
CN={π1,…,πN=e}
,由于单一元素
π
即可生成所有的元素,所以称其为N阶循环群,也记作
⟨π⟩
.如果令
σ
为正N边型某一对称轴的
180∘
旋转变换,那么可以知道
σ
也产生一个顶点的置换,
σ
的特点是:
N=2n−1(n∈N+)时σ(1122n−1……nn+1n+1n……22n−1) =(1)(2 2n−1)(3 2n−2)…(n n+1)
,其完全轮换分解有n个表示为
112n−1
型轮换.
N=2n(n∈N+)时σ(12n22n−1……nn+1n+1n……22n−111) =(1 2n)(2 2n−1)(3 2n−2)…(n n+1)
,其完全轮换分解有n个表示为
2n
型轮换.
总的来说
DN=σCN
也为一个群,称其为N阶二面体群(因为平面图形表现出了空间的性质,具有正反两面).