二叉树及其基本操作

一些概念（待补充）

·二叉树与度为2的树的区别：二叉树的左右子树严格区分，不能随意交换
·满二叉树与完全二叉树：满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

二叉树的存储结构与基本操作

1.二叉树的存储结构

二叉链表

struct node{
    typename data;
    node* lchild;
    node* rchild;
};

由于二叉树建树前根结点不存在，因此其地址一般设为NULL：

node* root=NULL;

新建结点（往二叉树中插入结点）

node* newNode(int v){
    node* Node=new node; 
    Node->data=v;
    Node->lchild=Node->rchild=NULL;
    return Node;
}

关于申请node型地址空间，也可用(node* )malloc(sizeof(node)); 【关于malloc和new的区别这个问题对我来说暂且有点高深……

2.二叉树结点的查找、修改

查找操作是指在给定数据域的条件下，在二叉树中找到所有数据域为给定数据域的结点，并将它们的数据域修改为给定的数据域

void search(node* root,int x,int newdata){
    if(root==NULL)     //递归边界
        return;
    if(root->data==x)
        root->data=newdata;
    search(root->lchild,x,newdata);
    search(root->rchild,x,newdata);
}

3.二叉树结点的插入

二叉树结点的插入位置就是数据域在二叉树中查找失败的位置
此处根结点指针root要使用引用

void insert(node* &root,int x){
    if(root==NULL){
        root=newNode(x);   //新建数据域为x的结点
        return;
    }
    if(??由题意要求的二叉树性质应该插在左子树){
        insert(root->lchild,x);
    }else insert(root->rchild,x);
}

4.二叉树的创建

实质为二叉树结点的插入过程

node* Create(int data[],int n){
    node* root=NULL;
    for(int i=0;i<n;i++){
        insert(root,data[i]);
    }
    return root;
}

5.完全二叉树的存储结构

基于完全二叉树的性质，有更方便的存储方法，可通过建立一个2^n的数组来存放所有结点的信息
·在1号位存根结点的前提下，对于完全二叉树中的任何一个结点（编号x），其lchild一定为2x，rchild一定为2x+1
·该数组中元素存放的顺序恰好为该完全二叉树的层序遍历序列
·判断某个结点是否为叶子结点的标志为：该结点（x)的左子结点编号2x大于结点总个数n
·判断某个结点是否为空结点的标志为：该结点下标大于结点总个数n

二叉树的遍历

1.先序遍历

对一棵二叉树的先序遍历，序列的第一个一定是根结点

void preorder(node* root){
    if(root==NULL){
        return;
    }
    printf("%d",root->data);    //访问根结点，例如输出数据域
    preorder(root->lchild);
    preorder(root->rchild);
}

2.中序遍历

只要知道根结点，就可以通过根结点在中序遍历序列中的位置区分出左右子树

void inorder(node* root){
    if(root==NULL){
        return；
    }
    inorder(root->lchild);
    printf("%d",root->data);
    inorder(root->rchild);
}

3.后序遍历

对于后序遍历，序列的最后一个一定是根结点

void postorder(node* root){
    if(root==NULL){
        return;
    }
    postorder(root->lchild);
    postorder(root->rchild);
    printf("%d",root->data);
}

无论是先序还是后序，都必须知道中序遍历序列才能唯一地确定一棵树

4.层序遍历

与树的层序遍历同样套路
若要记录结点层次，则在node结构体中加设layer

struct node{
    int data;
    int layer;
    node* lchild;
    node* rchild;
};

void bfs(node* root){
    queue<node*> q;
    root->layer=1;
    q.push(root);
    while(!q.empty()){
        node* now=q.front();
        q.pop;
        printf("%d",now->data);  //取出队首结点并访问
        if(now->lchild!=NULL){
            now->lchild->layer=now->layer+1;
            q.push(now->lchild);
        }
        if(now->rchild!=NULL){
            now->rchild->layer=now->layer;
            q.push(now->rchild);
        }
    }
}

给定先、中序重建二叉树

（给定先后序同理）

node* create(int preL,int preR,int inL,int inR){
    if(preL>preR) 
        return NULL;
    node* root=new node;
    root->data=pre[preL];
    int k;
    for(k=inL;k<=inR;k++){
        if(in[k]==pre[preL])
            break;
    }
    int numL=k-inL;
    root->lchild=create(preL+1,preL+numL,inL,k-1);
    root->rchild=create(preL+numL+1,preR,k+1,inR);
    return root;
}

二叉树的静态实现

struct node{
    int data,lchild,rchild;    //通常用-1表示子树为空
}Node[maxn];

其他操作相应更改即可~