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线性空间(Vector Space)
定义(Definition)
设V是一个非空集合,P是一个域:
- 加法:
∀α,β∈V
,总有唯一元素
γ∈V
与之对应,称为
α
与
β
的和,记作
γ=α+β
。
- 纯量乘法(数量乘法):
∀k∈P
,
∀α∈V
,总有唯一元素
δ∈V
与之对应,称为
k
与
α
的积,记作
δ=kα
。
- 加法与纯量乘法满足下列条件(设
α,β,γ∈Vandk,l∈P
):
-
α+β=β+α
-
(α+β)+γ=α+(β+γ)
-
∃零元素0∈V,∀α∈V⟹α+0=α
-
∀α∈V,∃β∈V,α+β=0
,则称
β
为
α
的负元素,记作
−α
- 对P中单位元1,有
1α=α
-
(kl)α=k(lα)
-
(k+l)α=kα+lα
-
k(α+β)=kα+kβ
则称V为域P上的一个向量空间(线性空间)。加法与纯量乘法称为线性运算。
本质:
∀(α,β∈V),∀(k,l∈P)
,都有
kα+lβ∈V
线性相关/无关(Linear Dependence/Independence)
如果V是一个线性空间,如果存在不全为零的系数
c1,c2,⋯,cn∈F
,使得
c1v1+c2v2+⋯+cnvn=0
,那么其中有限多个向量
v1,v2,⋯,vn
称为线性相关的。
反之,称这组向量线性无关的。更一般的,如果有无穷多个向量,我们称这无穷多个向量是线性无关的,如果其中任意有限多个都是线性无关的。
基与维数(Basis and Dimension)
在线性空间V中,如果存在n个元素
α1,α2,⋯,αn
,满足:
-
α1,α2,⋯,αn
线性无关
-
∀α∈V
,都可由
α1,α2,⋯,αn
线性表示
那么,
α1,α2,⋯,αn
称为线性空间V的一个基,n称为线性空间V的维数,空间V称为由基
{α1,α2,⋯,αn}
张成的线性空间,记作
V=span{α1,α2,⋯,αn}
。
性质:
V={x|x=c1α1+c2α2+⋯+cnαn,ci∈R,i=1,2,⋯,n}
坐标:若V是一个线性空间,
{α1,α2,⋯,αn}
是线性空间V的一组基,对于
α∈V
,如果有
α=x1α1+x2α2+⋯+xnαn
,那么其标识系数所构成的n为实向量
(x1,x2,⋯,xn)
称为
α
在基
{α1,α2,⋯,αn}
下的坐标。所以,线性空间的元素称为向量。
范数(Norm)
在线性空间V中定义一种运算
||.||:V→R
,
∀α,β∈V,c∈R
满足:
- 正定性:
||α||≥0,若||α||=0⟺α=0(零向量)
- 正齐次性:
||cα||=|c|||α||
- 次可加性(三角不等式):
||α+β||≤||α||+||β||
则称
||.||
为线性空间V的一个范数(模),这样的V称为赋范矢量空间(Normed Vector Spaces)。在赋范矢量空间中的元素
α,β∈V
,定义
||α−β||
为
α,β
之间的距离。
矩阵Frobenius范数
||A||F=∑i,ja2i,j−−−−−−√