链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4035

大意

给定一个在$n$维意义下的球面上的$n+1$个点，求出球心的坐标

思路

因为这$n+1$个点到球形的距离相同，所以可以列出一个方程

$$\sum_{j=0}^n(a_{i,j}-x_j)^2=球体半径$$

然后因为这个方程是一个$n$元二次方程，我们把相邻两个方程做差，就得到了一个$n$元一次方程

$$\sum^{n}_{j=1}(a_{i,j}^2-a_{i+1,j}^2-2x_j(a_{i,j}-a_{i+1,j}))=0$$

这时我们通过移项，把变量放在左边，常数放在右边

$$\sum_{j=1}^n2x_j(a_{i,j}-a_{i+1,j})=\sum_{j=1}^n(a_{i,j}^2-a_{i+1,j}^2)$$

此时右边可以通过预处理求出，这时跑高斯消元即可

高斯消元步骤

1. 找到$x[i]$的系数不为0的一个方程
2. 将系数不为0的方程优先放到前面
3. 加减消元
   

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代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define r(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;int n;
double a[20][20],b[20],c[20][20];
inline double power(register double x){return x*x;}
inline void swap(register double &x,register double &y){double t=x;x=y;y=t;return;}
signed main()
{
    scanf("%d",&n);
    r(i,1,n+1) r(j,1,n) scanf("%lf",&a[i][j]);
    r(i,1,n) r(j,1,n) c[i][j]=(a[i][j]-a[i+1][j])*2,b[i]+=power(a[i][j])-power(a[i+1][j]);//c表示系数，b表示常数
    r(i,1,n) 
    {
        r(j,i+1,n) 
        if(fabs(c[j][i]>1e-8)) //找到系数不为0的矩阵
        {
            r(k,1,n) swap(c[i][k],c[j][k]);
            swap(b[i],b[j]);
        }
        r(j,1,n)
        {
            if(i==j) continue;
            double rnt=c[j][i]/c[i][i];
            r(k,i,n) c[j][k]-=c[i][k]*rnt;//高斯消元
            b[j]-=b[i]*rnt;
        }
    }
    r(i,1,n) printf("%.3lf ",b[i]/c[i][i]);//输出解
}