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HDUoj 5391 - Zball in Tina Town

在线提交:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5391
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题目大意：
Tina Town 是一个善良友好的地方, 这里的每一个人都互相关心。
Tina有一个球，它的名字叫zball。zball很神奇，它每天会变大一些。在第一天，它和原始大小一样。 在第二天，它的大小将成为第一天的2倍。 在第n天，它的大小将为第(n-1)天大小的n倍。Tina想知道，zball在第n-1天时的大小对n取模是多少呢？

思路：
陶哲轩在他的书Solving mathematical problems 中提到威尔逊定理$(n-1)! + 1\ (mod\ n) \equiv 0 \Leftrightarrow n$ is prime.

首先，来回忆一下阶乘的定义:
$m! = \prod_{k=1}^m k = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times m.$

可得出结论: 存在a, b $\in$ [1, m] 使得$a\cdot b$能整除m!

假定 $m = n-1$,

原问题可分类如下:

1. n是质数，则由威尔逊定理知:
   $(n-1)! \ (mod\ n) = -1 (mod\ n) = n - 1$.

2. n是合数(composite)，且n不能表示为质数的平方，则$\exists a, b$使得$n = a\cdot b\ |\ m!$，即
   $a\cdot b = n\ |\ (n-1)!$

3. n是合数，且n可表示成质数p的平方，而且 p > $\sqrt{2}+1$, 即 $p\geq3$
   此时的目标是寻找a, b使得 $a\cdot b\ |\ p^2$，不妨假设 a = $k_1\cdot p$, b = $k_2\cdot p$.
   $n = p^2$, 则n的约数有$1, p, p^2$.
   下面用反证法来证明为何a、b均与p线性相关，如果a($\geq 1$)与p线性无关，则$b=k\cdot p^2\geq p^2 (k\geq 1)$，而$b\leq m=n-1=p^2-1$，矛盾。同理假设b与p线性无关也会出现同样的矛盾，因此a、b均与p线性相关。

   $1\leq a = k_1 \cdot p < b = k_2 \cdot p \leq p^2 - 1$
   让a尽量小, 则$k_1=1$, 令$t = k_2$, 于是b可表示为$t\cdot p$.
   $\therefore t\cdot p \leq p^2 -1$
   解上述不等式可得 $p\geq \frac{t+\sqrt{t^2+4}}{2} = f(t) \ (t\geq 2)$, 容易分析得f(t)是递增函数。
   当$t = 2$时, $p \geq \sqrt{2}+1$，即$p \in [ \sqrt{2}+1, +\infty)$, 于是$b=2\cdot p$.
   而当$t>2$时，p的解集是上述区间的子集, 因此p的解集可取两者中范围较大者, 即$[ \sqrt{2}+1, +\infty)$。
   由于$p \geq \sqrt{2}+1$, 而 $p\in Z$, 因而$p \geq 3$.
   因此
   $a\cdot b = 2 \cdot p^2 = 2\cdot n | (n-1)!$
   故 (n-1)! (mod n) = 0

4. n是合数，且n可表示成质数p的平方，而且 p < $\sqrt{2}+1$, 即 p = 2, n=4.
   此时，无法找到满足条件的a和b，$4 \nmid 3! = 6$.

已AC代码：

using System;

namespace hdoj_zball
{
    public class Solution
    {
        public int Mod(int n)
        {
            if (IsPrime(n))
                return n - 1;
            if (n == 4)
                return 2;           

            return 0;
        }

        public bool IsPrime(int m)
        {
            if (m < 2)
                return false;
            for (int i = 2; i * i <= m; i++)
            {
                if (m % i == 0)
                    return false;
            }
            return true;
        }
    }

    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int n = int.Parse(Console.ReadLine());
            while (n-- > 0)
            {
                string[] s = Console.ReadLine().Split();
                int num = int.Parse(s[0]);
                Solution sol = new Solution();
                Console.WriteLine(sol.Mod(num));
            }
        }
    }
}

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Reference:
elementary number theory - If $n\ne 4$ is composite, then $n$ divides $(n-1)!$. - Mathematics Stack Exchange
https://math.stackexchange.com/questions/164852/if-n-ne-4-is-composite-then-n-divides-n-1