递推之种萝卜

描述

一农夫挖了n个坑，准备种萝卜，n个坑排成一条直线，农夫认为如果连续m个坑都放入萝卜种子，那么就会影响萝卜的生长，所以某些坑中就不能放萝卜种子。

本题的任务是：对于给定的n和m，求不影响生长的种法的总数。

输入一行两个正整数n和m，之间用空格隔开

0≤n≤64 ， 0≤m≤5输出一行一个正整数，表示正确种法的总数

样例输入

4 3

样例输出

提示

找呗0个坑只有不种一种情况；1个坑要看m的情况

解题思路

很显然这道题要使用递推的方法来做。这道题的递推式算是比较难想到的，我认为在做这种递推时要分好情况。例如说这道种萝卜的题目分为三种情况如下：

1.n<m

当坑数小于影响萝卜生长连续坑数时，想一想是不是随便怎样种都行？那如何推出此时的种法数和之前的种法数的关系呢？OK，由于现在n<m的，所以有n-1<m。那当坑数为n-1，影响萝卜生长连续坑数为m时，是不是更加是随便种都行？设此时的种法为f(n-1)(m)，好，现在求递推式的关键来了，看一下下面的图你就懂了

当坑数为n-1，影响萝卜生长连续坑数为m时，合理的种法为f(n-1)(m)；当坑数为n，影响萝卜生长连续坑数为m时，是不是就是在坑数为n-1加了一个第n个坑？第n个坑的情况为种与不种2种情况，那是不是

f(n)(m)=2* f(n-1)(m)呢？

2.m=n

n=m时，也就是说坑数和影响萝卜生长连续坑数相等时，是不是就是把n个坑全中满这一种情况不行呀？此时我们的递推公式是不是在所有种法的基础上减去1就好了，即f(n)(m)=2* f(n-1)(m)-1；

3.n>m

n>m时，也就是说坑数大于影响萝卜生长连续坑数时，这时的情况比较复杂。看一下下面的图和文字。

假设现在有n个坑，而且为合理种法，那其种法为2*f(n-1)(m);假设当增加1个坑之后，如果这个第n+1个坑要种，后面刚好成了m个连续的坑，就成了不合理的种法。那这种不合理的种法应该有多少种呢？那是不是现在确定了m-1个连续的坑都要种萝卜，而前面n-m-1个坑肯定是为合理种法，有f(n-m-1)(m)种，所以此时不合理的种法应f(n-m-1)(m)种。那此时的合理种法应该为所有的种法减去不合理的种法f(n-m-1)(m)，即f(n)(m)= 2*f(n-1)(m)- f(n-m-1)(m)。

参考程序

#include<iostream>
using namespace std;
long long a[66][6];//数组要定义成long long型，要不然到最后会爆
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            if(i==0)a[i][j]=1;//0个坑只有不种一种情况
            else if(i<j)a[i][j]=2*a[i-1][j];//n<m:f(n)(m)=2* f(n-1)(m);
                else if(i==j)a[i][j]=2*a[i-1][j]-1;//n=m:f(n)(m)=2* f(n-1)(m)-1
                    else if(i>j)a[i][j]=2*a[i-1][j]-a[i-1-j][j];//n>m:f(n)(m)= 2*f(n-1)(m)- f(n-m-1)(m)
    cout<<a[n][m];
    return 0;
}

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