关于动态规划的专题习集

数字三角形

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12 34 56

在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99

输入格式：

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递归方法：
#include <iostream>

using namespace std;

int Maxsum(int i,int j,int **p,int n)
{
    if(i==n-1)
        return p[i][j];
    int x=Maxsum(i+1,j,p,n);
    int y=Maxsum(i+1,j+1,p,n);
    return max(x,y)+p[i][j];
}

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    int **a=new int *[n];
    for(int i=0;i<n;i++)
        a[i]=new int[n];
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            cin>>a[i][j];
    cout<<Maxsum(0,0,a,n);
}

#include <iostream>  
#include <algorithm> 
using namespace std;
 
#define MAX 101
  
int D[MAX][MAX];    
int n;  
int maxSum[MAX][MAX];//作为算出来的每一个最大值，保存起来，可避免重复计算
 
int MaxSum(int i, int j){      
    if( maxSum[i][j] != -1 )    //刚开始初始化均为-1；       
        return maxSum[i][j];      
    if(i==n)   
        maxSum[i][j] = D[i][j];     
    else{    
        int x = MaxSum(i+1,j);         向下和右下角进行搜索，选最大的一个
        int y = MaxSum(i+1,j+1);       
        maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j];     
    }     
    return maxSum[i][j]; 
} 
int main(){    
    int i,j;    
    cin >> n;    
    for(i=1;i<=n;i++)   
        for(j=1;j<=i;j++) {       
            cin >> D[i][j];       
            maxSum[i][j] = -1;   
        }    
    cout << MaxSum(1,1) << endl; 
}

对于上面的递归，需要占用大量的空间，容易造成溢出，可再进行改进；

用递推的方法：

从倒数第二行开始，对应于第二行的数字与下一行下边和右下边相邻的数字的最大和，以此向上循环；

12 --------------------------------12

1 3 ---------------------------------13 15

12 4 12 ----------------------------------- 12 4 12

#include <iostream>  
#include <algorithm> 
using namespace std; 

#define MAX 101  

int D[MAX][MAX];   
int n;  
int maxSum[MAX][MAX]; 
int main(){
  cin>>n;
  for(int i=1;i<=n;i++)
   {
    for(int j=1;j<=1;j++)
     {
        cin>>D[i][j];
     }
   }
for(int i=1;i<=N;i++)
{
  maxSum[N][i]=D[N][i];
}
for(int i=N-1;i>=1;i--){
{
 for(int j=1;j<=i;j++)
   maxSum[i][j]=max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1,j+1])+D[i][j]；
｝
cout<<max(i,j);
}

递归到动规的一般转化方法

递归函数有n个参数，就定义一个n维的数组，数组的下标是递归函数参数的取值范围，数组元素的值是递归函数的返回值，这样就可以从边界值开始，逐步填充数组，相当于计算递归函数值的逆过程。

动规解题的一般思路

1. 将原问题分解为子问题

把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解决(数字三角形例）。
子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求解一次。

2.确定状态

在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个“状态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题，所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状态”所对应的子问题的解。
所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。在数字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2个数字，所以这个问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。

整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需时间。在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次，且在每个状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。

3.确定一些初始状态（边界状态）的值

以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值就是底边数字值。

4. 确定状态转移方程

定义出什么是“状态”，以及在该“状态”下的“值”后，就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”(递推型)。状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。

数字三角形的状态转移方程:

maxSum[r][j]={ D[r][j] r==n;

max( maxSum[r+1][j],maxSum[r+1][j+1])+D[r][j]; r!=n;

可以用动规解决的问题的特点：

1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质。

2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没有关系。

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