计蒜客 NOIP 提高组模拟竞赛第一试 补记

A. 广场车神

题目大意：

一个\(n\times m(n,m\le2000)\)的网格，初始时位于左下角的\((1,1)\)处，终点在右上角的\((n,m)\)。每次移动可以选择移动到自己右上方的某一方格，且横坐标和纵坐标的变化都不能超过\(k(k\le2000)\)。求一共有多少种移动方案？

思路：

\(f[i][j]\)表示走到\((i,j)\)的方案数，一边DP一边维护二维前缀和即可。

时间复杂度\(\mathcal O(nm)\)。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
const int N=2001,mod=998244353;
int f[N][N],g[N][N];
inline int sum(int x1,const int &x2,int y1,const int &y2) {
    x1=std::max(x1-1,0);
    y1=std::max(y1-1,0);
    return (((g[x2][y2]+g[x1][y1])%mod-(g[x1][y2]+g[x2][y1])%mod)%mod+mod)%mod;
}
int main() {
    freopen("racing.in","r",stdin);
    freopen("racing.out","w",stdout);
    const int n=getint(),m=getint(),k=getint();
    f[1][1]=g[1][1]=1;
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        for(register int j=1;j<=m;j++) {
            if(i==1&&j==1) continue;
            g[i][j]=((g[i-1][j]+g[i][j-1]-g[i-1][j-1])%mod+mod)%mod;
            f[i][j]=sum(i-k,i,j-k,j);
            (g[i][j]+=f[i][j])%=mod;
        }
    }
    printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0;
}

B. 敌对势力

题目大意：

给定一棵\(n(n\le10^5)\)个结点的树，\(m(m\le10^5)\)次询问，每次询问路径\((a,b)\)和路径\((c,d)\)是否有交。

思路：

树链剖分后，有线段树在\((a,b)\)路径上+1，然后看一下\((c,d)\)路径上是否为\(0\)即可。

时间复杂度\(\mathcal O(m\log^2n)\)。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
const int N=1e5+1;
std::vector<int> e[N];
inline void add_edge(const int &u,const int &v) {
    e[u].push_back(v);
    e[v].push_back(u);
}
int dep[N],par[N],size[N],son[N],top[N],dfn[N];
void dfs(const int &x,const int &par) {
    size[x]=1;
    ::par[x]=par;
    dep[x]=dep[par]+1;
    for(auto &y:e[x]) {
        if(y==par) continue;
        dfs(y,x);
        size[x]+=size[y];
        if(size[y]>size[son[x]]) son[x]=y;
    }
}
class SegmentTree {
    #define _left <<1
    #define _right <<1|1
    #define mid ((b+e)>>1)
    private:
        bool val[N<<2],tag[N<<2];
    public:
        void modify(const int &p,const int &b,const int &e,const int &l,const int &r,const int &t) {
            val[p]+=t;
            if(b==l&&e==r) {
                tag[p]+=t;
                return;
            }
            if(l<=mid) modify(p _left,b,mid,l,std::min(mid,r),t);
            if(r>mid) modify(p _right,mid+1,e,std::max(mid+1,l),r,t);
        }
        bool query(const int &p,const int &b,const int &e,const int &l,const int &r) const {
            if(tag[p]) return true;
            if(b==l&&e==r) return val[p];
            if(l<=mid&&query(p _left,b,mid,l,std::min(mid,r))) return true;
            if(r>mid&&query(p _right,mid+1,e,std::max(mid+1,l),r)) return true;
            return false;
        }
    #undef _left
    #undef _right
    #undef mid
};
SegmentTree sgt;
void dfs(const int &x) {
    dfn[x]=++dfn[0];
    top[x]=x==son[par[x]]?top[par[x]]:x;
    if(son[x]) dfs(son[x]);
    for(auto &y:e[x]) {
        if(y==par[x]||y==son[x]) continue;
        dfs(y);
    }
}
inline void modify(int x,int y,const int &t) {
    while(top[x]!=top[y]) {
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) std::swap(x,y);
        sgt.modify(1,1,dfn[0],dfn[top[x]],dfn[x],t);
        x=par[top[x]];
    }
    if(dep[x]<dep[y]) std::swap(x,y);
    sgt.modify(1,1,dfn[0],dfn[y],dfn[x],t);
}
inline bool query(int x,int y) {
    bool ret=false;
    while(top[x]!=top[y]) {
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) std::swap(x,y);
        ret|=sgt.query(1,1,dfn[0],dfn[top[x]],dfn[x]);
        x=par[top[x]];
    }
    if(dep[x]<dep[y]) std::swap(x,y);
    ret|=sgt.query(1,1,dfn[0],dfn[y],dfn[x]);
    return ret;
}
int main() {
    freopen("enemy.in","r",stdin);
    freopen("enemy.out","w",stdout);
    const int n=getint(),m=getint();
    for(register int i=1;i<n;i++) {
        add_edge(getint(),getint());
    }
    dfs(1,0);
    dfs(1);
    for(register int i=0;i<m;i++) {
        const int a=getint(),b=getint(),c=getint(),d=getint();
        modify(a,b,1);
        puts(query(c,d)?"NO":"YES");
        modify(a,b,-1);
    }
    return 0;
}

C. 提高水平

题目大意：

有\(n(n\le20)\)个东西，第\(i\)个东西放在第\(j\)个东西前可以获得\(a_{i,j}\)的收益。问如何排列这些东西使得收益最大？

思路：

状压DP。

时间复杂度\(\mathcal O(2^nn)\)。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
const int N=20;
int a[N][N],f[1<<N],w[N][1<<N];
inline int lowbit(const int &x) {
    return x&-x;
}
inline int lg2(const float &x) {
    return ((unsigned&)x>>23&255)-127;
}
int main() {
    freopen("proficiency.in","r",stdin);
    freopen("proficiency.out","w",stdout);
    const int n=getint(),all=(1<<n)-1;
    for(register int i=0;i<n;i++) {
        for(register int j=0;j<n;j++) {
            a[i][j]=getint();
        }
    }
    for(register int i=0;i<n;i++) {
        for(register int j=1;j<=all;j++) {
            w[i][j]=w[i][j^lowbit(j)]+a[lg2(lowbit(j))][i];
        }
    }
    for(register int i=1;i<=all;i++) {
        for(register int j=0;j<n;j++) {
            if((i>>j)&1) {
                f[i]=std::max(f[i],f[i^(1<<j)]+w[j][i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",f[all]);
    return 0;
}