首先我要知道什么是笛卡尔坐标?如图:
我们平常使用这个二维平面,就是笛卡尔坐标。
如果我们要确定二维平面上的任意一点,只需要给出 x 轴方向上的距离和 y 轴方向上的距离,就可以确定这个点。
现在我们给出这个点:
在笛卡尔坐标系中,为达到这个点,我们需要右移3个单位长度,坐标为3:
上移动4个单位长度,到达蓝色这一点:
按照惯例,这就是横坐标,纵坐标,称这个点为(3,4):
这是定位二维平面点的其中一种方法。
第二种方法就是,直接向那个点出发:
如何给出这个方向呢?为什么称之为0°?
可以称这个角度为0°,设这个角度为,给它指出一个方向,说它了 r 个单位长度,它会到达那个点:
现在用另外一种方式来表示。
那一点(3,4)也可以用(r,)来表示,沿 方向移动 r 个基本单位。这样说有点抽象了。我们来表示一下。
从三角函数入手,其实是运用了勾股定理,能否求出 r 和 ?
r 比较容易求解,因为有一个直角三角型,x轴为3,y轴为4。
根据勾股定理,3的平方 + 4的平方 等于 斜边的平方,也就是 r 方,也就是 r 等于5。
如何求 ?
现在已知什么呢?
我们要求 ,看看 的对边,这下我们回到了三角函数知识。
的对边是 4 。领边同样已知,是3。这是哪个三角函数呢?是tan 。
tan等于对边比上领边。也就是纵坐标y等于4 除以 领边(横坐标)3:
tan=4/3
为求解,可以对等号两边同时求arctan:
arctan(tan) = arctan4/3
当然正切值的反正切,也就是arctan(tan)等于。
= arctan4/3
注意:arctan的另一种写法是,经常表示为,等同于。
绝大部分人都记不住arctan4/3等于多少度。一般我们使用计算机来计算。得出:53.13°:
= 53.13°
现在我们知道二维平面那个点可以表示为:(5,53.13°),这是极坐标。
也就是说,从x轴沿逆时针方向转53.13°,然后移动5个单位长度,就可以得到那个点。这就是极坐标的意义。
现在我们来用学习使用一般方法来表示这一逻辑:
我们来画个图:
如何转换 r ?转换为极坐标?(r , )
和我们上面做的一样,设长度 r 和 角度为 :
利用勾股定理,x的平方 + y的平方 = 斜边的平方:
然后求tan,这个角的正切值。tan = 对边 除以 邻边。
如果已知 r 和 ,如何求y?
r 是斜边,y 是对边。要用三角函数表示:sin 等于 对边 比 斜边:
然后两边同时乘以 r ,得到:
我们再使用这个方法来表示 x 的等式:
x 是邻边,斜边是 r。哪个函数用到邻边和斜边?是的,使用cos 。cos等于邻边比斜边。
然后两边同时乘以 r ,得到:
如果得到了由三角恒等式推导出的这个公式, 和 是由三角函数推导出来的。
你们现在有能力可以完成极坐标和笛卡尔坐标之间的转换了。
——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。