归并含义
归并的含义是把两个(或两个以上)有序表合并成一个新的有序表。
归并排序的原理
归并排序是即把长度为n的序列分成n个长度为1的子序列,,然后把有序子序列合并成整体有序序列,这个过程也称为2-路归并.注意:归并排序的一种稳定排序,即相等元素的顺序不会改变.
归并排序的步骤
Divide: 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列。
Conquer: 对这两个子序列分别采用归并排序。
Combine: 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。
下面是递归形式的实现代码:
- #include<stdio.h>
- //将有二个有序子数组a[begin...mid]和a[mid+1...end]合并。
- void MergeArray(int a[],int begin,int mid,int end,int temp[])
- {
- int i=begin,j=mid+1;
- int m=mid,n=end;
- int k=0;
- while(i<=m && j<=n)
- {
- if(a[i]<=a[j])
- temp[k++]=a[i++];
- else
- temp[k++]=a[j++];
- }
- while(i<=m)
- temp[k++]=a[i++];
- while(j<=n)
- temp[k++]=a[j++];
- //把temp数组中的结果装回a数组
- for(i=0;i<k;i++)
- a[begin+i]=temp[i];
- }
- void mergesort(int a[],int begin,int end,int temp[])
- {
- if(begin<end)
- {
- int mid = (begin+end)/2;
- mergesort(a,begin,mid,temp); //左边有序
- mergesort(a,mid+1,end,temp); //右边有序
- MergeArray(a,begin,mid,end,temp); //将左右两边有序的数组合并
- }
- }
- int main()
- {
- int num[10]={2,5,9,3,6,1,0,7,4,8};
- int temp[10];
- mergesort(num,0,9,temp);
- for(int i=0;i<10;i++)
- {
- printf("%d",num[i]);
- }
- printf("\n");
- }
时间复杂度:
这是一个递推公式(Recurrence),我们需要消去等号右侧的T(n),把T(n)写成n的函数。其实符合一定条件的Recurrence的展开有数学公式可以套,这里我们略去严格的数学证明,只是从直观上看一下这个递推公式的结果。当n=1时可以设T(1)=c1,当n>1时可以设T(n)=2T(n/2)+c2n,我们取c1和c2中较大的一个设为c,把原来的公式改为:
这样计算出的结果应该是T(n)的上界。下面我们把T(n/2)展开成2T(n/4)+cn/2(下图中的(c)),然后再把T(n/4)进一步展开,直到最后全部变成T(1)=c(下图中的(d)):
把图(d)中所有的项加起来就是总的执行时间。这是一个树状结构,每一层的和都是cn,共有lgn+1层,因此总的执行时间是cnlgn+cn,相比nlgn来说,cn项可以忽略,因此T(n)的上界是Θ(nlgn)。
如果先前取c1和c2中较小的一个设为c,计算出的结果应该是T(n)的下界,然而推导过程一样,结果也是Θ(nlgn)。既然T(n)的上下界都是Θ(nlgn),显然T(n)就是Θ(nlgn)。