Description

$题意给出n个谷堆,每个谷堆有w_i个谷子$
$现在要在n个谷堆中找出一个连续的区间\begin{bmatrix}i,j\end{bmatrix}使得区间的和sum_{ij}$
$满足max{\begin{Bmatrix} \frac{sum_{ij}}{p}\end{Bmatrix}} (1 \leq i \leq n;1\leq j \leq n;sum_{ij} \% p \leq k)$

Input

$T \leq 20$
$0 < N,P < 1000001 ;0\leq k < P$
$0\leq w_i < 32768$

Output

$对于每个样例输出Case\ \#X: Y$
$X 是样例编号$
$Y 是max{\begin{Bmatrix} \frac{sum_{ij}}{p}\end{Bmatrix}}$

Solution

$\color {red} {Solution 1}　SegmentTree$
利用线段树是很好想这一题的。
$首先预处理出前缀和,通过枚举区间的右端点j。$
$然后就是找到一个离j最远的i使得满足(sum[j]-sum[i]) \% P \leq k。$
因为最远肯定是最大的。
$找的最远的i的话利用权值线段树,权值线段树中下标是[0,P),值是数组的下标(如 i,j等)。$
$设我们枚举了右端点j,x = sum[j] \% P (sum[j] 是区间[1,j]的和)。$
$那么我们需要 y = sum[i] 满足以下条件$
$if (x >= k) \ \ \ \ \ x-K<=y<=x$
$利用线段树去查询区间[x-K,x]的最小值i(最小下标)。$
$else \ \ \ 则答案就是arr[j] - arr[0]$
$因为对于当前x已经满足了x = (sum[j] - sum[0] \% P) \leq K,最远的就是0。$

$\color {red} {Code 1}$

/*
 * 题意给出n个谷堆,每个谷堆有wi个谷子,
 * 现在仅仅允许取出一个区间[i-j]使得max((sum[j]-sum[i-1])/p) && (sum[j]-sum[i-1])%p <= k;
 * 首先预处理出前缀和,通过枚举区间的右端点j,然后就是找到一个离j最远的i使得满足(sum[j]-sum[i-1]) % p <= k
 * 因为最远肯定是最大的。
 * 找的最远的i的话利用权值线段树,权值线段树中下标是[0,p),值是数组的下标(如 i,j等)
 * 设我们枚举了右端点j,x = sum[j] % p (sum[j] 是 前缀和)　那么我们需要 y = sum[i] 满足以下条件
 * 如果 x >= k  x-k<=y<=x 
 * 如果 x < k   则答案就是arr[i] - arr[0] 因为对于这个i已经满足了,最远的就是0
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
struct SegTree {
    int Min[maxn<<2];
    void push_up(int rt) {
        Min[rt] = min(Min[rt<<1],Min[rt<<1|1]);
    }
    void build(int l,int r,int rt) {
        if(l == r) {
            Min[rt] = inf;
            return;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        build(l,mid,rt<<1);
        build(mid+1,r,rt<<1|1);
        push_up(rt);
    }
    void update(int pos,int val,int l,int r,int rt) {
        if(l == r) {
            if(val < Min[rt]) Min[rt] = val; 
            return;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        if(pos <= mid) update(pos,val,l,mid,rt<<1);
        else update(pos,val,mid+1,r,rt<<1|1);
        push_up(rt);
    }
    int query(int ql,int qr,int l,int r,int rt) {
        if(ql == l && qr == r) return Min[rt];
        int mid = (l + r)>>1;
        if(qr <= mid) return query(ql,qr,l,mid,rt<<1);
        if(ql > mid) return query(ql,qr,mid+1,r,rt<<1|1);
        return min(query(ql,mid,l,mid,rt<<1),query(mid+1,qr,mid+1,r,rt<<1|1));       
    }
}seg;
int n,p,k;
ll arr[maxn];
int main()
{
    int caset,t = 0;scanf("%d",&caset);
    while(caset--) {
        scanf("%d%d%d",&n,&p,&k);
        seg.build(0,p-1,1);
        arr[0] = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            scanf("%lld",&arr[i]);
            arr[i] += arr[i-1];
        }
        ll ans = -1;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            int l = (arr[i] % p),pos;
            if(l > k) pos = seg.query(l-k,l,0,p-1,1);
            else pos = 0;
            if(pos != inf) ans = max(ans,(arr[i]-arr[pos])/p);
            seg.update(l,i,0,p-1,1);
        }
        printf("Case %d: %lld\n",++t,ans);
    }
    return 0;
}

$\color {red} {Solution 2}　Monotonic queue$