欧几里得引理

欧几里得昨天给我托梦说，“告诉你一个可叼的公式，我花十分钟推出来的，给你一小时理解他！”（滑稽）

i f ((a | b c) a n d (g c d (a, b) == 1)) a | c;

$if( (a|bc)\ and\ (gcd(a,b)==1) )\ a|c;$ 我说这有啥难的？随便推一下就出来了。

a | b c, 则 a k = b c

$a|bc,则ak=bc$

a \frac{k}{b} = c \dots \dots (1)

$a\dfrac{k}{b}=c\quad\quad……(1)$

s o, a | c

$so,a|c$ 欧拉这时候说你的(1)式也要证明啊！
噗，显而易见啊，，，我说(qnmlgb)好好好，那我分开证明不就行了？
显然，现在的域为就是自然数域

Z

$\mathbb Z$ ，我们设

a = \prod_{a l l p | a} p

$a=\prod_{all\ p|a}p$ （意会下，就是把a转换成素数的积）

设 f (x), g (x) \in N, p (x) \in N, p (x) c a n^{'} t d i v i d e

$设f(x),g(x)\in\mathbb N,p(x)\in\mathbb N,p(x)\ can't\ divide$ 则

p (x) | f (x) 或 者 p (x) | g (x)

$p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)$ 由于

p (x) | f (x) 是 恒 假 式 ， 所 以 p (x) | g (x) 恒 真

$p(x)|f(x)是恒假式，所以p(x)|g(x)恒真$

s o, a | c

$so,a|c$ 欧拉这时大吃一惊，说“本来以为你笨，没想到你这么笨，还是没有彻底理解，你看看这个式子怎么证明！”

a^{2} \equiv 1 (m o d p) ， 则 a \equiv \pm 1 (m o d p)

$a^2≡1(mod\ p)，则a≡±1(mod\ p)$ “这两个有关系？我想想呢，噢！”

a^{2} \equiv 1 (m o d p)

$a^2≡1(mod\ p)$

p | (a^{2} - 1)

$p|(a^2-1)$

p | (a + 1) (a - 1)

$p|(a+1)(a-1)$

s o, p | (a + 1) 或 者 p | (a - 1)

$so,p|(a+1)或者p|(a-1)$

s o, a \equiv \pm 1 (m o d p)

$so,a≡±1(mod\ p)$ 欧拉说小子你虽然笨，但还是有救的，提醒你一下，这个可以用来二次测定，快去看看素数筛吧！说不定你就能拿金了！