题目大意:
给你一个n然后是n个数。 然后是n-1个操作符,操作符是插入在两个数字之间的。 由于你不同的运算顺序,会产生不同的结果。
比如:
1 + 1 * 2 有两种 (1+1)*2 或者 1+(1*2)
1 * 2 * 3 也是两种即使结果是一样的 (1*2)*3 或者 1*(2*3)
问这所有不同的组合加起来的和对 1e9+7取余是多少。
这个其实就是区间DP了
dp[i][j] 代表的是区间 i 到 j 的和
枚举dp[i][j] 之间所有的子区间
假如是乘法:
t = dp[i][k] * dp[k+1][j];
这个其实可以直接算出来的:
假设我们dp[i][k] 里面所有的值是 (x1+x2+x3...xn) == dp[i][k]
假设我们dp[k+1][j] 里面所有的值是 (y1+y2+y3...yn) == dp[k+1][j]
dp[i][k] * dp[k+1][j] == (x1+x2+...xn) * (y1+y2+y3...yn) == x1*y1+x1y*y2......xn*yn 其实和所有不同结果相乘出来是一样的
假如是加法或者减法:
我们表示阶乘 i为A[i].
t = dp[i][k]*A[j-k-1] + dp[k+1][j]*A[k-i];
其实这里我们想一下。区间 dp[i][k] 需要加上多少次?
我们需要加的次数就是另一半区间的所有组合数,另一半区间有多少种组合方式我们就要加上多少个。
因为他们之间可以相互组成不同的种类。同理另一半也是。
最后的时候我们要乘上一个组合数。
假设组合数为C[i][j].
为什么要乘组合数:
因为 假如我们k 分割了两个运算式子 【 1+(2*3) 】 + 【 1+(3*4) 】
虽然说我们左右两边的式子运算顺序已经确定了,但是我们总的运算顺序还是不确定的, 比如我们算完(2*3) 直接去算(3*4)也是不同的结果
dp[i][j] = dp[i][j] + t*C[j-i-1][k-i]
这个其实就是从总的运算符(j-i-1)(减去了第k个的运算符)个中选取(k-i)个进行运算。
因为我们选取数达到 k-i的时候,另外我们还需要保持左右两边运算的相对顺序。
就比如说:左边有a 个运算符, 右边有b个运算符。
我们从 a+b个位置中选取 a位置个放a个的运算符。其余的只能放另一边的的运算符了。因为我们左右两边的相对顺是不变的。
代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
ll C[120][102],A[120];
const int mod=1e9+7;
int n;
ll dp[120][120];
char s[120];
void init()
{
A[0] = 1;
for(int i=1; i<=100; i++)
A[i] = (A[i-1] * i)%mod;
C[0][0] = 1;
for(int i=1; i<=100; i++)
{
C[i][0] = 1;
for(int j=1; j<=i; j++)
C[i][j] = (C[i-1][j-1] + C[i-1][j])%mod;
}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
init();
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&dp[i][i]);
}
scanf("%s",s+1);
for(int L=2;L<=n;L++)
{
for(int i=1;i<=n-L+1;i++)
{
int j=i+L-1;
dp[i][j]=0;
for(int k=i;k<j;k++)
{
ll tmp;
if(s[k]=='*')
{
tmp=(dp[i][k]*dp[k+1][j])%mod;
}
if(s[k]=='+')
{
tmp=(dp[i][k]*A[j-k-1]+dp[k+1][j]*A[k-i])%mod;
}
if(s[k]=='-')
{
tmp=(dp[i][k]*A[j-k-1]-dp[k+1][j]*A[k-i])%mod;
}
dp[i][j]=(dp[i][j]+tmp*C[j-i-1][k-i])%mod;
}
}
}
printf("%lld\n",(dp[1][n]+mod)%mod);
}
return 0;
}