1、复杂网络研究的新纪元
在20世纪即将结束之际，对复杂网络的科学探索发生了重要的转变，复杂网络理论的研究也不再局限于数学领域。人们开始考虑节点数量众多、连接结构复杂的实际网络的整体特性，在从物理学到生物学的众多学科中掀起了研究复杂网络的热潮，甚至于被称为“网络的新科学”。
有两篇开创性的的文章可以看作是复杂网络的研究新纪元开始的标志，一篇是美国康奈尔大学理论和应用力学系的博士生Watts及其导师、非线性动力学专家Strogatz教授于1998年6月在Nature杂志上发表的题为《“小世界”网络的集体动力学》；另一篇为美国Notre Dame大学物理系的Barabasi教授及其博士生Albert与1999年在Science杂志上发表的题为《随机网络中标度的涌现》。这两篇文章分别揭示了复杂网络的小世界特征和无标度性质，并建立了相应的模型以阐述这些特性的产生机理。
过去关于实际网络结构的研究常常着眼于包含几十个，至多几百个节点的网络，而近年关于复杂网络的研究中则常可以见到包含从几万个到几百万个节点的网络。网络规模尺度上的变化也促使网络分析方法作出相应的改变，甚至于很多问题的提法都要有相应的改变。就目前而言，复杂网络理论的主要研究内容可以归纳为：
- 发现：揭示刻画网络系统结构的统计性质，以及度量这些性质的合适方法。
- 建模：建立合适的网络模型以帮助人们理解这些统计性质的意义与产生机理。
- 分析：基于单个节点的特性和整个网络的结构性质分析与预测网络的行为。
- 控制：提出改善已有网络性能和设计新的网络的有效方法，特别是稳定性、同步和数据流通等方面。
复杂网络研究的简单历史如下表所示：
| 时间（年） | 人物 | 事件 |
|---|---|---|
| 1736 | Euler | 七桥问题 |
| 1959 | Erdos和Renyi | 随机图理论 |
| 1967 | Milgram | 小世界实验 |
| 1973 | Granovetter | 弱连接强度 |
| 1998 | Watts和Strogatz | 小世界模型 |
| 1999 | Barabasi和Albert | 无标度网络 |
2、基本概念
近年来，人们在刻画复杂网络结构的统计特性上提出了许多概念和方法，其中有三个基本的概念：平均路径长度（average path length）、聚类系数（clustering coefficient）和度分布（degree distribution），实际上，Watts和Strogatz提出小世界网络模型的初衷，就是想建立一个既具有类似于随机图的较小的平均路径长度，又具有类似于规则网络的较大的聚类系数网络模型。另一方面，Barabasi和Albert提出的无标度网络模型，则是基于许多实际网络的度分布具有幂律（power-law）形式的事实。
2.1、网络的图表示
一个具体网络可抽象为一个由点集V和边集E组成的图G=(V,E)。节点数记为N=|V|，边数记为M=|E|。E中每条边都有V中一对点与之相对应。如果任意点对（i,j）与（j,i）对应同一条边，则该网络称为无向网络（undirected network），否则称为有向网络（directed network）。如果给每条边都赋予相应的权值，那么该网络就称为加权网络（weighted network），否则称为无权网络（unweighted network）。当然，无权网络也可看作是每条边的权值都为1的等权网络。此外，一个网络中还可能包含多种不同类型的节点。下面重点介绍的是无向无权网络，并且假设没有重边和自环（即任意两个节点之间至多只有一条边，且没有以同一个节点为起点和终点的边）。在图论中，没有重边和自环的图称为简单图（simple graph）。
2.2、平均路径长度
网络中两个节点i和j之间的距离dij定义为连接这两个节点的最短路径的变数。网络中任意两个节点之间的距离的最大值称为网络的直径（diameter），而网络的平均路径长度定义为任意两个节点之间的距离的平均值。网络的平均路径长度也称为网络的特征路径长度（characteristic path length）。近期研究发现，尽管许多实际的复杂网络的节点数巨大，网络的平均路径却小得惊人。
2.3、聚类系数
在你的朋友关系网络中，你的两个朋友很可能彼此也是朋友，这种属性称为网络的聚类特性。一般地，假设网络中的一个节点i有ki条边将它和其他节点相连，这ki个节点就称为节点i的邻居。显然在这ki个节点之间最多可能有ki(ki-1)/2条边。而这ki个节点之间实际存在的边数和总的可能存在的边数ki(ki-1)/2之比就定义为节点i的聚类系数。整个网络的聚类系数C就是所有节点i的聚类系数Ci的平均值。很明显，0≤C≤1。C=0当且仅当所有的节点均为孤立节点，即没有任何连接边；C=1当且仅当网络是全局耦合的，即网络中任意两个节点都直接相连。
2.4、度与度分布
度（degree）是单独节点的属性中简单而又重要的概念。节点i的度ki定义为与该节点连接的其他节点的数目。有向网络中一个节点的度分为出度（out-degree）和入度（in-degree）。节点的出度是是指从该节点指向其他节点的边的数目，节点的入度是指从其他节点指向该节点的边的数目。直观上看，一个节点的度越大就意味着这个节点在某种意义上越“重要”。网络中所有节点i的的度ki的平均值称为网络的（节点）平均度。
网络中节点的度的分布情况可用分布函数P(k)来描述。P(k)表示的是一个随机选定节点的度恰好为k的概率。规则的格子有着简单的度序列：因为所有的节点具有相同的度，所有其度分布为Delta分布，它是单个尖峰。网络中的任何随机化倾向都将使这个尖峰的形状变宽。完全随机网络的度分布近似为Poisson分布，其形状在远离峰值处呈指数下降。这意味着k>>网络平均度（>>是远大于的意思）时，度为k的节点实际上是不存在的。因此，这类网络也称为均匀网络（homogeneous network）。
近几年的大量研究表明，许多实际网络的度分布明显不同于Poisson分布。许多网络的度分布可以用幂律形式来更好地描述。幂律分布曲线比Poisson指数分布曲线下降要缓慢得多。
幂律分布也称为无标度（scale-free）分布，具有幂律度分布的网络也称为无标度网络，
