同余&逆元
1. 同余
1. 同余的基本概念及性质
- 若
%
即m是 x-a 的一个因子, 则称x与a关于m同余,记作:
- 同余基本性质:
○1. 自反性:
○2. 对称性:
○3. 传递性:
○4. 同加性:
○5. 同乘性:
○6. 同幂性: n是自然数
○7. 若 则
○8. 若 则
○9. 若
2. 求解线性同余方程
可转化为求解方程:
(同余方程和线性方程的关系很重要,经常用到!!)
1.预处理:
if(a<0) a=-a,c=-c;
while(c<0) c+=b;//保证 a,c 为正
2.第一步: 检验是否有解
int gcd=Gcd(a,b);
if((c%gcd)!=0) return -1;//若c不是gcd(a,b) 的倍数,则无解
//可以转化为直线上的整点来理解
3.第二步:求解同余方程:
即
扩展欧几里得算法
inline int ex_gcd(int a,int b)
{
if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
int gcd=ex_gcd(b,a%b);
int tmp=x;x=y;
y=tmp-a/b*y;//扩欧
return gcd;
}
//最后得到的x即为原同余方程的一个可行解;
扩欧的证明:
当最后 b’==0 时a’==gcd(a,b) 则此时
令
即得最后的一组解。
考虑从后往前推出
的解:
设我们前一步求出的解为
那么因为
%
%
有:
则:
整理得:
容易看出:
即证。
4.第四步:根据题意得出答案
若要求出最小正整数解:
while(x<0) x+=b;x%=b;
b/=gcd;//mod 要变成 mod/gcd ;(mod 即为 b)
x=x*c/gcd;//同余的同乘性质
while(x<0) x+=b;x%=b;//最小正整数解
若要求出解的个数(或所有解)
int tot=gcd(a,b);// 只有gcd(a,b) 个解
//要求出每个解,只需对其不断加 b/gcd 即可(同时y-=a/gcd)
3.求解单变量模线性方程组(中国剩余定理)
有如下方程:
其中( )
为了方便表示,将x设为S
(1)设 , 设
(2)可知对于每一个
即:
那么 的逆元,用 表示
两边同时扩大
而 的取值与求解无关,可将 视为 ,则:
那么易知
则原同余方程组通解为:
为什么把每一个加起来就行了呢?
因为每一个
都含有因子
,对于其他的同余方程不产生影响。
若要求最小正整数解,则对
取模即可。
代码如下:
//中国剩余定理求解单变量模线性同余方程组
int CRT(int a[],int m[],int h)
{
int ans=0;int M=1;
for(int i=1;i<=h;i++) M*=m[i];//求M
for(int i=1;i<=h;i++) {
ll Mi,ti;
Mi=M/m[i];//求Mi
ti=Rev(Mi,m[i]);//求Mi的逆元
ans+=((a[i]*Mi%M)*ti)%M;//累加答案
if(ans>=M) ans-=M;//取模
}
return ans;
}
4.扩展中国剩余定理
这同样是用来解决单变量模线性方程组的,但是能够应用于模数不互质的情况
其实这个和中国剩余定理没有什么关系,CRT是用构造法,而EXCRT则基于扩展欧基里德算法
做法:
还是如下方程:
其中 不一定互质
我们可以发现左边的式子都是相同的,于是有了同余方程合并这种操作
既然是合并,我们只要讨论两个式子的时候的情况
对于:
可以看做是两个方程:
合并一下得到:
移项:
假定 ,设为 ,再化为同余方程:
令
,该同于方程有解当且仅当
,所以如果
不整除
则整个同余方程组无解
反之,由同余的性质得:
记
由于此时 一定互质,所以 在模 的意义下一定有逆元,记为 ,那么可以解出 (其实就是扩欧)
回代进一开始的方程:
展开化简得:
于是我们可以得到一个新的同余方程:
于是就这样一直合并下去,最后的解就直接出来了(注意最后的模数会变成 )
中间结果注意防溢出
代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ldb;
const int N=1e5+10;
inline ll Mul(ll a,ll b,ll mod){a%=mod;b%=mod;return (a*b-(ll)((ldb)a*b/mod)*mod+mod)%mod;}
int n;
ll gcd(ll a,ll b){return (b? gcd(b,a%b):a);}
inline ll fpow(ll x,ll k,ll mod)
{
register ll ans=1;
while(k){
if(k&1) ans=Mul(ans,x,mod);
x=Mul(x,x,mod);
k>>=1;
}
return ans;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(!b){x=1;y=0;return;}
exgcd(b,a%b,x,y);
register ll tmp=x;
x=y;y=tmp-a/b*y;
return;
}
inline void EXCRT()
{
ll p1,b1,p2,b2;scanf("%lld %lld",&p1,&b1);
for(register int i=2;i<=n;++i) {
scanf("%lld %lld",&p2,&b2);
register ll d=gcd(p1,p2);
if(b2<b1) swap(b1,b2),swap(p1,p2);
register ll c=b2-b1;
if(c%d) return void(puts("no solution"));
register ll d1=p1/d,d2=p2/d;
register ll lcm=d1*p2;c/=d;
register ll inv,y;exgcd(d1,d2,inv,y);
register ll x1=Mul(inv,c,d2);
b1=(b1+Mul(x1,p1,lcm))%lcm;p1=lcm;
}
printf("%lld\n",b1%p1);
return;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("EXCRT.in","r",stdin);
freopen("EXCRT.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d",&n);
EXCRT();
return 0;
}
5.卢卡斯定理(大组合数取模)
对于组合数取模,如
其中p是一个质数,有如下定理:
卢卡斯定理:组合数
在模意义下等价于把n和m看成一个p进制数,对每一位分别求出组合数后乘起来
比如说假设:
那么:
显然如果p很大的话没有什么鸟用
但是当p不是特别大的话,我们可以发现通过这个定理我们要求的组合数的n,m都不会超过p,可以使用阶乘来解决,并且这时阶乘一定和p是互质的,一定存在逆元,通过阶乘逆元我们可以直接算出组合数
复杂度是
,预处理阶乘逆元就直接是
了,看上去还是很有用的
主要代码:
inline ll C(ll n,ll m,ll p){
if(m>n) return 0;
return fac[n]*fpow(fac[m],p-2,p)%p*fpow(fac[n-m],p-2,p)%p;
}
ll Lucas(ll n,ll m,ll p)
{
if(!m) return 1;
return C(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p)%p;
}
6.扩展卢卡斯定理
还是这个东西:
但是p不一定是质数
这个其实和卢卡斯定理也没有什么很大的关系
我们先把p给质因数分解:
可以看出,如果所有的k都是1的话,我们设 ,对每一个 分别用卢卡斯定理求出组合数 ,那么就变成了求解一系列的同余方程组:
于是我们可以用中国剩余定理进行合并,求出最后的x,显然在模p意义下最后只会有唯一解
问题在于我们现在的p可能不是一次,而是有k次,要想用CRT来进行合并只能靠求出
因为要把同余式
拆开必须要满足
和
互质,显然两个相同的数不会互质
于是问题转化为快速求出
为方便,我们设现在考虑的模数是
,
是一个质数
还是考虑用阶乘来解决:
我们仔细观察可以发现 中含有的 这个因子的个数一定会不少于 中p的个数,我们可以很容易得到一个阶乘中含有的p的个数的递推公式:
例如我们要求: 中 的个数:
这就比较直观了,有了这个的话,我们假设求出阶乘中不含 的项的积,这样就可以通过逆元来进行组合数计算了,只需要最后把因该有的 给再乘上去就行了
于是问题再次变为如何快速求出阶乘
其实方法在上面
的变换中就可以发现了,由于我们不管
有多少,发现提出来一个
之后,右边那部分的阶乘可以递归进行计算,就是
,于是关键在于计算左边
由于是模p意义下,在上面的式子中,可以发现左边其实全部都是1,手玩一下其他的发现显然这个东西是以p个一循环的,并且可能会剩下不超过p个数
所以循环部分算出一个然后快速幂
次,最后还会剩下
个,直接暴力算这些
所以对于一次的阶乘要算的次数也不会超过
次,总共有
层
所以计算一个阶乘的复杂度为
总复杂度也就是把所有模数的复杂度加起来,最高也不超过最大质因子的复杂度
所以我们就解决了这个问题
剩下的就是算出逆元,求出组合数,处理多余的质因子p,然后CRT合并
代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,p;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(!b) {x=1;y=0;return;}
exgcd(b,a%b,x,y);
register ll tmp=x;
x=y;y=tmp-a/b*y;
return;
}
inline ll Mul(ll a,ll b,ll p){a%=p;b%=p;return (a*b-((ll)(long double)a*b/p)*p+p)%p;}
inline ll fpow(ll x,ll k,ll p){
register ll ans=1;
while(k){
if(k&1) ans=ans*x%p;
x=x*x%p;k>>=1;
}
return ans;
}
ll calc(ll n,ll pi,ll pk){
if(n<=1) return 1;
register ll ret=1,i;
ll rsub=calc(n/pi,pi,pk);
if(n/pk){//如果大于模数
for(i=2;i<=pk;++i) if(i%pi) ret=ret*i%pk;
ret=fpow(ret,n/pk,pk)%pk;
}
register ll res=n%pk;
for(i=2;i<=res;++i) if(i%pi) ret=ret*i%pk;//模意义下,直接枚举模了之后的未统计数也可以
return ret*rsub%pk;
}
inline ll inv(ll a,ll b)
{
ll x,y;
exgcd(a,b,x,y);
x=(x+b)%b;
return x;
}
inline ll C(ll n,ll m,ll pi,ll pk)
{
if(m>n) return 0;
ll facn=calc(n,pi,pk);
ll facm=calc(m,pi,pk);
ll facmn=calc(n-m,pi,pk);//求解三个阶乘
ll num=0;register ll i;
for(i=n;i;i/=pi) num+=i/pi;
for(i=m;i;i/=pi) num-=i/pi;
for(i=n-m;i;i/=pi) num-=i/pi;//把p这个质因子都提出来单独算(其实算阶乘的时候没有处理这些数)
//阶乘质因子个数递推 f[i]=f[i/p]+i/p;
return facn*inv(facm,pk)%pk*inv(facmn,pk)%pk*fpow(pi,num,pk)%pk;
}
inline void EXLucas(ll n,ll m,ll p){
if(n<m) return void(puts("0"));
if(n==m||m==0) return void(puts("1"));
ll ans=0;ll x=p;
for(register int i=2;i<=p;++i)
if(!(x%i)){
register ll pk=1ll;
while(!(x%i)) pk*=i,x/=i;
register ll res=C(n,m,i,pk);
ans=ans+res*(p/pk)%p*inv(p/pk,pk)%p;
if(ans>=p) ans-=p;
}
printf("%lld\n",ans);
return;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("EXLucas.in","r",stdin);
freopen("EXLucas.out","w",stdout);
#endif
scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&p);
EXLucas(n,m,p);
}
2.逆元
1.定义:在 mod m 的意义下,设b是a的逆元,则:
2.求解方法:
1.线性递推法
逆元的递推公式:
阶乘逆元的递推公式:
上面的 表示 的逆元
2.扩展欧基里德法:
在上面我们用扩欧求了如下同余方程的解:
而逆元是求的这个同余方程:
所以把b直接设为1然后扩欧解出x的最小正整数解就是a的逆元了
可以发现a,p一定要互质,不然同余方程无解,即a在a和p不互质的情况下是没有逆元的
3.费马小定理
费马小定理:
当a和p互质且p是质数时,有
相当于是:
所以 就是a的逆元了
4.欧拉定理
欧拉定理:
当a和p互质时,有
所以 的逆元是 ,其实费马小定理是欧拉定理在p是质数时的一个特殊情况
补充:
扩展欧拉定理:
证明不会
小结:逆元在a和p互质的情况下才有