通过这两周数论知识的学习，掌握了不少数论知识，掌握了很多数问题的求解方法。
首先是辗转相除求最大公约数的简便算法：
long long gcd( long long a, long long b)
{
return (a%b!=0?(gcd(b,a%b)):b);
}
还有筛素数算法
int c[1000003];//0表示素数 1为非素数
void shai()
{
c[0]=c[1]=1;
int i,j;
for(i=2;i<=1000000;++i)
{
if(c[i]==0)
for(j=2*i;j<=1000000;j+=i)
c[j]=1;
}
}
其次是欧拉函数，求与n互素且小等于n的正整数个数
int phi(int n)
{ int ret=1,i;
for (i=2;i*i<=n;i++)
if (n%i==0)
{
n/=i,ret*=i-1;
while (n%i==0)
n/=i,ret*=i;
}
if (n>1)
ret*=n-1;
return ret;
}其中小于n且与n互素的正整数之和为n*phi[n]/2。
a的b次幂对c取余问题
/*快速幂算法*/
int power2(int a, int b, int c)
{
int res = 1;
a %= c;
while (b)
{
if (b & 1)
res = (res * a) % c;
a = (a * a) % c;
b >>= 1;
}
return res;
}
A的x次方求模问题：
A^x % m = A^(x%phi(m)+phi(m)) % m (x >= phi(m))
//基本原理公式
可用此公式进行多次取幂求模运算
中国剩余定理求解问题
//中国剩余定理
long long China(int n,long long *m,long long *a)
{
long long M=1,d,y,x=0;
for(int i=0;i<n;i++)M*=m[i];
for(int i=0;i<n;i++){
long long w=M/m[i];
gcd(m[i],w,d,d,y);
x=(x+y*w*a[i])%M;
}
return (x+M)%M;
}
牵扯除法的求模问题需要用到被除数关于模的逆元
//求被除数关于模的逆元
void ex_gcd(long long a,long long b,long long &d,long long &x,long long &y)
{
if(b==0)
{
d=a;
x=1;
y=0;
return;
}
ex_gcd(b,a%b,d,y,x);
y-=a/b*x;
}
int main()
{
long long n,m,d,x,y;
cin>>m>>n;//n为模数 m为被除数
ex_gcd(m,n,d,x,y);
long long ni=(x+n)%n;//逆元
return 0;
}
最后是大数素数测定及大数因子分解问题
// Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快，而且可以判断 <2^63的数
//****************************************************************
const int S=20;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小
//计算 (a*b)%c. a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的
// a,b,c <2^63
long long mult_mod(long long a,long long b,long long c)
{
a%=c;
b%=c;
long long ret=0;
while(b)
{
if(b&1){ret+=a;ret%=c;}
a<<=1;
if(a>=c)a%=c;
b>>=1;
}
return ret;
}
//计算 x^n %c
long long pow_mod(long long x,long long n,long long mod)//x^n%c
{
if(n==1)return x%mod;
x%=mod;
long long tmp=x;
long long ret=1;
while(n)
{
if(n&1) ret=mult_mod(ret,tmp,mod);
tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
n>>=1;
}
return ret;
}
//以a为基,n-1=x*2^t a^(n-1)=1(mod n) 验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
bool check(long long a,long long n,long long x,long long t)
{
long long ret=pow_mod(a,x,n);
long long last=ret;
for(int i=1;i<=t;i++)
{
ret=mult_mod(ret,ret,n);
if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数
last=ret;
}
if(ret!=1) return true;
return false;
}
// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)
//合数返回false;
bool Miller_Rabin(long long n)
{
if(n<2)return false;
if(n==2)return true;
if((n&1)==0) return false;//偶数
long long x=n-1;
long long t=0;
while((x&1)==0){x>>=1;t++;}
for(int i=0;i<S;i++)
{
long long a=rand()%(n-1)+1;//rand()需要stdlib.h头文件
if(check(a,n,x,t))
return false;//合数
}
return true;
}
//************************************************
//pollard_rho 算法进行质因数分解
//************************************************
long long factor[100];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）
int tol;//质因数的个数。数组下标从0开始
long long gcd(long long a,long long b)
{
if(a==0)return 1;//???????
if(a<0) return gcd(-a,b);
while(b)
{
long long t=a%b;
a=b;
b=t;
}
return a;
}
long long Pollard_rho(long long x,long long c)
{
long long i=1,k=2;
long long x0=rand()%x;
long long y=x0;
while(1)
{
i++;
x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
long long d=gcd(y-x0,x);
if(d!=1&&d!=x) return d;
if(y==x0) return x;
if(i==k){y=x0;k+=k;}
}
}
//对n进行素因子分解
void findfac(long long n)
{
if(Miller_Rabin(n))//素数
{
factor[tol++]=n;
return;
}
long long p=n;
while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
findfac(p);
findfac(n/p);
}
以上是数论中比较常用的基本算法，然而数论问题最重要的是根据已知的原理及性质进行推导，推导出问题所要解决问题的公式来，然后调用以上基本算法即可解决问题。
ACM永不停息，继续加油！