题面
题目描述
给出一张有 \(N\) 个点 \(M\) 条边的加权有向无环图,接下来有 \(Q\) 个询问,每个询问包括 \(2\) 个节点 \(X\) 和 \(Y\) ,要求算出从 \(X\) 到 \(Y\) 的一条路径,使得密度最小(密度的定义为,路径上边的权值和除以边的数量)。
输入输出格式
输入格式:
第一行包括 \(2\) 个整数 \(N\) 和 \(M\) 。
以下 \(M\) 行,每行三个数字 \(A\) 、 \(B\) 、 \(W\) ,表示从 \(A\) 到 \(B\) 有一条权值为 \(W\) 的有向边。
再下一行有一个整数 \(Q\) 。
以下 \(Q\) 行,每行一个询问 \(X\) 和 \(Y\) ,如题意所诉。
输出格式:
对于每个询问输出一行,表示该询问的最小密度路径的密度(保留 \(3\) 位小数),如果不存在这么一条路径输出“OMG!”
(不含引号)。
输入输出样例
输入样例:
3 3
1 3 5
2 1 6
2 3 6
2
1 3
2 3
输出样例:
5.000
5.500
说明
\(1 \leq N \leq 50, 1 \leq M \leq 1000, 1 \leq W \leq 100000, 1 \leq Q \leq 100000\)
思路
我们来做一点 \(NOIP D1T2\) 难度的图论题吧......来,洛谷 P4467。 --digger_sun
下午孙教练突然叫我们过去做了一些图论题,太毒瘤了 \(qwq\) 。特别是这道题,我没有做出来,因为完全没和动态规划联系到一起。最后则是 logeadd 的代码救了我。
进入正题。显然普通的松弛操作在这里不适用了,考虑使用记录状态的动态规划。定义 \(dis[i][j][k]\) 为从 \(i\) 点出发到达 \(j\) 点,中途恰好经过了 \(k\) 条边的最短距离。那么假设在从点 \(s\) 出发的一次最短路中,现在的状态是已经经过了 \(k\) 条边的点 \(u\) 和它的最短路径,对于一条边 \((u,v,d)\) 我们就可以这样松弛:
\[f[s][v][k+1]=min(f[s][v][k+1],f[u][v][k]+d)\]
最后统计答案时枚举经过的边数,就可以完成啦。
AC代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,q,dis[55][55][1005];
int cnt,top[55],to[1005],len[1005],nex[1005];
int read()
{
int re=0;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return re;
}
void SPFA(int s)
{
dis[s][s][0]=0;
queue<PII>Q;
Q.push(make_pair(s,0));
while(!Q.empty())
{
int now=Q.front().first,edge=Q.front().second;Q.pop();
for(int i=top[now];i;i=nex[i])
if(dis[s][to[i]][edge+1]>dis[s][now][edge]+len[i])
{
dis[s][to[i]][edge+1]=dis[s][now][edge]+len[i];
Q.push(make_pair(to[i],edge+1));
}
}
return ;
}
int main()
{
n=read(),m=read();
memset(dis,0x3f,sizeof dis);
for(int i=0;i<m;i++)
{
int x=read(),y=read(),z=read();
to[++cnt]=y,len[cnt]=z,nex[cnt]=top[x],top[x]=cnt;
}
q=read();
while(q--)
{
int s=read(),t=read();
SPFA(s);
double ans=INF;
for(int i=1;i<=m;i++) if(dis[s][t][i]!=INF) ans=min(ans,double(dis[s][t][i])/double(i));
if(ans!=INF) printf("%.3f\n",ans);
else puts("OMG!");
}
return 0;
}