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来源:牛客网
Applese打开了m个QQ群,向群友们发出了组队的邀请。作为网红选手,Applese得到了n位选手的反馈,每位选手只会在一个群给Applese反馈
现在,Applese要挑选其中的k名选手组队比赛,为了维持和各个群的良好关系,每个群中都应有至少一名选手成为Applese的队友(数据保证每个群都有选手给Applese反馈)
Applese想知道,他有多少种挑选队友的方案
输入描述:
输入包括两行
第一行包括三个数n, m, k,表示共有n位选手,m个群,需要有k名选手被选择
第二行包括m个数,第i个数表示第i个群有si个选手
n ≤ 100000, m ≤ k ≤ n
输出描述:
输出包括一行
第一行输出方案数
由于输出可能比较大,你只需要输出在模998244353意义下的答案
sol:
比较裸的生成函数题。考虑构造多项式,对于有n人的群,选择的方案即。对于m个团队,将m个多项式相乘。则对应系数即为答案。 因为最多有1e5个多项式,而n最大为1e5,考虑用分治ntt。用队列模拟即可。
几个坑点:
1. 对常量取模比变量取模快一倍。。。。。。。。
2.因为始终为0(每个群必须有一个人),可以将多项式系数向左移一位。
code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5 + 50;
const ll mod = 998244353;
inline ll qpow(ll a, ll b)
{
ll sum = 1;
while (b)
{
if (b & 1)
sum = sum * a % mod;
b >>= 1;
a = a * a % mod;
}
return sum;
}
inline ll Inv(ll a, ll _mod)
{
return qpow(a, _mod - 2);
}
ll fac[maxn], inv[maxn];
void init(int n)
{
fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
inv[n] = Inv(fac[n],mod);
for (int i = n - 1; i > 1; i--)
inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
inline ll C(int n, int m)
{
return fac[n] * inv[n - m] % mod * inv[m] % mod;
}
struct NTT
{
int rev[maxn], dig[105];
int N, L;
ll g;
void init_rev(int n)
{
//初始化原根
g = 3;
for (N = 1, L = 0; N <= n; N <<= 1, L++);
memset(dig,0,sizeof(int)*(L+1));
for (int i = 0; i < N; i++)
{
rev[i] = 0;
int len = 0;
for (int t = i; t; t >>= 1)
dig[len++] = t & 1;
for (int j = 0; j < L; j++)
rev[i] = (rev[i] << 1) | dig[j];
}
}
void DFT(vector<ll>&a , int flag)
{
for (int i = 0; i < N; i++)
if (i < rev[i])
swap(a[i], a[rev[i]]);
for (int l = 1; l < N; l <<= 1)
{
ll wn;
if (flag == 1)
wn = qpow(g, (mod - 1) / (2*l));
else
wn = qpow(g, mod - 1 - (mod - 1) / (2*l));
for (int k = 0; k < N; k += l*2)
{
ll w = 1;
ll x,y;
for (int j = k; j < k + l; j++)
{
x = a[j];
y = a[j+l] * w % mod;
a[j] = (x + y) % mod;
a[j + l] = (x - y + mod) % mod;
w = w * wn % mod;
}
}
}
if (flag == -1)
{
ll x = Inv(N, mod);
for (int i = 0; i < N; i++)
a[i] = a[i] * x % mod;
}
}
void mul(vector<ll>& a,vector<ll>& b,int m)
{
init_rev(m);
a.resize(N);
b.resize(N);
DFT(a, 1);
DFT(b, 1);
for (int i = 0; i < N; i++)
a[i] = a[i] * b[i]%mod;
DFT(a, -1);
int len = N - 1;
while(a[len]==0) len--;
a.resize(len+1);
}
} ntt;
vector<ll> v[maxn];
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
int n,m,k;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
init(n+1);
queue<int> q;
for(int i=1;i<=m;i++){
int x;
scanf("%d",&x);
v[i].resize(x);
for(int j=1;j<=x;j++) {
v[i][j-1] = C(x,j);
}
q.push(i);
}
while(q.size()>1){
int q1 = q.front();
q.pop();
int q2 = q.front();
q.pop();
ntt.mul(v[q1],v[q2],v[q1].size()+v[q2].size());
q.push(q1);
}
ll ans = v[q.front()][k-m];
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}