文章针对以下代码重点研究：

xformedItems = dataMat.T * U[:,:4] * Sig4.I 

首先是SVD分解的公式：
$M_{m·n}=U_{m·m}·Σ_{m·n}·{(V_{n·n})}^{T}$
注意Σ在python代码中返回时，是一个向量，矩阵论中是一个对角矩阵。
对角线上都是各个奇异值，其余元素都是0.
并且Σ矩阵必定是从大到小排序过的。
其中 $U_{m·m}$和 $V_{n·n}$是正交阵
正交矩阵的各行是单位向量且两两正交
正交矩阵的各列是单位向量且两两正交
对于正交阵A（特指方阵）有以下性质：
$A^T=A^{-1}$
如果从 $U_{m·m}$中抽取k列，构成 $U_{m·k}$，且 $U_{k·m}=(U_{m·k})^{T}$
如果从 $V_{m·m}$中抽取k列，构成 $V_{m·k}$，且 $V_{k·m}=(V_{m·k})^{T}$
那么有：
$U_{k·m}·U_{m·k}=E_{k·k}①$
$U_{m·k}·U_{k·m}≠E_{m·m}$
$V_{k·m}·V_{m·k}=E_{k·k}②$
$V_{m·k}·V_{k·m}≠E_{m·m}$
上述等式的成立条件是：k≤m
注意上面①②的每个式子的顺序不能反，
接下来是SVD的近似公式：
$M_{m·n}≈U_{m·k}·Σ_{k·k}·{(V_{n·k})}^{T} ③$
下面根据该式进行推导，对于③中，等式左右两边乘以 $U_{k·m}$，得到：
$U_{k·m}·M_{m·n}≈（U_{k·m}·U_{m·k}）·Σ_{k·k}·{(V_{n·k})}^{T}$
代入式①得到：
$U_{k·m}·M_{m·n}≈E_{k·k}·Σ_{k·k}·{(V_{n·k})}^{T}④$
两边乘以 $（Σ_{k·k}）^{-1}$，得到：
${（Σ_{k·k}}）^{-1}·U_{k·m}·M_{m·n}≈{(V_{n·k})}^{T}⑤$
等式两边进行转置操作：
${V_{n·k}}≈（{（Σ_{k·k}}）^{-1}·U_{k·m}·M_{m·n}）^{T}$
对等式右边进行展开：
${V_{n·k}}≈({M_{m·n})^{T}·U_{m·k}·(（Σ_{k·k}}）^{-1})^{T}⑥$

∵ $（Σ_{k·k}）$是对角阵，
∴ $（Σ_{k·k}）^{-1}$也是对角阵
∴ $（Σ_{k·k}）^{-1}$的转置矩阵等于 $（Σ_{k·k}）^{-1}⑦$
将⑦中关系，代入⑥，得到

${V_{n·k}}≈({M_{m·n})^{T}·U_{m·k}·（Σ_{k·k}}）^{-1}⑧$

对比⑧和书上的这句代码进行比较：

xformedItems = dataMat.T * U[:,:4] * Sig4.I 

我们会发现是一模一样的。
所以上述推导是这句代码的理论依据。

借助的在线公式编辑器链接为：
http://www.sciweavers.org/free-online-latex-equation-editor