chapter13:速度:油门踩到底
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速度即导数
本节我们来看看导数在日常生活上的一些用途,目的是要把导数跟你的生活起居拉上关系,让你觉得他就在你的身边。举例来说吧,导数能告诉你速度有多快。假设你正在开车兜风,你不时看一下车速表,譬如指针指着时速为65英里,这是在告诉你,你的车的瞬时速度,而不是全程的平均速度。
平均速度 = 总距离 / 总时间,它与瞬时速度区别很大,那到底什么是瞬时速度?
我们可以把瞬时速度想成是“在非常短的一段时间内的平均速度”。依照这个想法
f(t):t时刻的位置;
v(t):t时刻的瞬时速度
Δt:表示一段非常短的时间
在非常短的时间Δt时间内,车子走过的距离为 f(t+Δt)— f(t),也就是说,在Δt这段时间内,你的平均速度为:
因此,Δt如果足够小,下面的公式就表示其瞬时速度
所以,瞬时速度函数就是f(t)的导数。即,瞬时速度v(t) = f`(t)
例子:车子的位置与速度
解:(a)根据给出的位置函数,算出瞬时速度函数:
,如果想知道出发半小时之后的车速,只要把t=1/2代入速度函数即可求出:
(b) 如何判断是否走回头路?可以从v(t)函数的正负判断,如果该函数曾经为负值,就表示在那段时间一定走了回头路,因为 v(t) = 5(t-4)(t-6),表示t= 4,t = 6时,v(t) = 0,表示你曾经把车子停下来,在t=(4,6)之间你曾经车子掉头往回走了。