例说学习方法的改造和提升
我们之所以感觉高三或高四很辛苦,除过高中最后一学年是冲刺阶段,任务量大,知识难度大,知识使用灵活,综合程度高,考查频次高,学习强度大这些原因之外,还有一个很重要的原因,就是我们不少学生一直在低效率层次上运转,但愿下面的题组和知识的总结方法,或许能给你一些学习方法和数学思维上启迪。
案例A:限定条件下的均值不等式使用
掌握了上述的模型,就能解决这一类问题了吗,回答是否定的,因为限定条件完全可能会以其他形式给出来。请通过下列的例子自行体会、把握。
看完这些内容,你难道不觉得我们很需要好好的改造我们的学习方法吗,比如说留意限定条件的各种可能的给出方式;
案例B: \(\tan\theta\)的各种可能给出方式
案例C:直线斜率的给出方式
利用斜率\(k=\tan\alpha\)的定义;
利用过两点的坐标,
利用导函数\(k=f'(x_0)\)给出,
如若倾斜角为\(\alpha\)的直线\(l\)与曲线\(y=x^4\)相切于点\((1,1)\),则\(k=tan\alpha=y'|_{x=1}=4x^3|_{x=1}=4\)。
- 利用函数的切线的方向向量的坐标。
案例D: 圆的给出方式
定义式:\(|OA|=r\)
方程式:标准式方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\);
一般式方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0)\);
直径式方程\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)(其中圆的直径的端点是\(A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)\))。
参数式:\(x=r\cdot cos\theta,y=r\cdot sin\theta\)或\((r\cdot cos\theta,r\cdot sin\theta)\)
极坐标式:\(\rho=3,\theta\in [0,2\pi)\)
向量式:已知点\(M\)为曲线上的动点,点\(A,B\)为两个定点,且满足关系\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\),则点\(M\)的轨迹方程是圆。
案例E: \(A,B,C\)三点共线的给出方式或证明思路
向量表示形式:\(\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OB}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}\)或\(\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{AC}\)
距离表示形式:\(|AB|+|BC|=|AC|\)
斜率表示形式:\(k_{AB}=k_{AC}\)
案例F: \(a_{n+1}-a_n=3\)的给出方式
直接给出:\(a_{n+1}-a_n=3\)
变形给出:\(a_{n+1}=a_n+3\)
运算给出:\((a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n)=0\),\(a_n>0\)
向量给出:\(\overrightarrow{P_nP_{n+1}}=(1,a_{n+1}-a_n)=(1,3)\)
案例G:对称中心的给出方式
直接给出:如函数\(f(x)=sin(x+\phi)\)的对称中心是\((\cfrac{\pi}{3},0)\)
间接给出:如函数\(f(x)=sin(x+\phi)\)过点是\((\cfrac{\pi}{3},0)\),则点\((\cfrac{\pi}{3},0)\)必是函数的对称中心
间接给出:如函数\(f(x)=sin(x+\phi)\),满足\(\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}f(x)\, dx=0\),则点\((\cfrac{\pi}{3},0)\)必是函数的对称中心
隐晦给出:如函数满足\(f(x)+f(\cfrac{2\pi}{3}-x)=0\),则点\((\cfrac{\pi}{3},0)\)必是函数的对称中心
案例H:相等关系的给出方式
直接给出:如\(f(2)=4\),
以不等关系给出:如\(2x\leq f(x)\leq \cfrac{1}{2}x^2+2\)对任意\(x\in R\)恒成立,则赋值可得\(4\leq f(2)\leq 4\),即\(f(2)=4\);
再比如\(|k|\leq 0\),即等于给出\(k=0\);\((m-1)^2\leq 0\),即等于给出\(m=1\);
案例I:不等式的解的给出方式
直接给出:\(x=1\)是不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)的解,求\(a\)的范围。
间接给出:集合\(\{1\}\)是不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)的解集\(A\)的真子集,求\(a\)的范围。
间接给出:\(x=1\)满足不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)是真命题,求\(a\)的范围;\(x=1\)满足不等式\(x^2-2x+a> 0\)是假命题,求\(a\)的范围。
隐晦给出:集合\(A=\{x\mid x^2-2x+a>0\}\),\(1\notin A\),求\(a\)的范围;