题目链接:E. Sky Full of Stars
题意:n*n的格子,用3种颜色填涂,求至少一行或者一列颜色相同的方案数
题解:
第一想法肯定是容斥:
1.优先考虑只有行或者只有列的方案数:
2\sum_{i = 1}^{n}\left(-1 \right )^{i + 1}3^{i + n(n - i)}C_{n}^{i}
2.其次考虑既有行又有列的方案数,此时会发现这些行列的颜色是相同的
\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}(-1)^{i + j + 1}C_{n}^{i}C_{n}^{j}3^{(n - i)(n - j) + 1}
化简替换:用n-i,n-j代替i,j
\sum_{i = 0}^{n - 1}\sum_{j = 0}^{n - 1}(-1)^{i + j + 1}C_{n}^{i}C_{n}^{j}3^{ij + 1}
最后化简得到:
\sum_{i = 0}^{n - 1}(-1)^{n + i + 1}C_{n}^{i}\sum_{j = 0}^{n - 1}(-1)^{n - j}C_{n}^{j}(3^{i})^{j}\\=3\sum_{i = 0}^{n - 1}(-1)^{i + 1}C_{n}^{i}\left [ \left ( 3^{i} - 1 \right )^{n} - 3^{ni} \right ]
2\sum_{i = 1}^{n}\left(-1 \right )^{i + 1}3^{i + n(n - i)}C_{n}^{i}