1 集合与逻辑
\((1)\quad\)逻辑运算
或\(V\),与\(A\)(这边打不出来\(\and\)),异或\(\oplus\)。
\((2)\quad\)集合运算
\(\forall i \in A\)或\(i\in B\),\(i\in A\cup B\)
\(\forall i \in A,B\),\(i \in A\cap B\)
2 组合数学
\((1)\quad\)基础知识
排列:\(n\)个数中取\(m\)个的排列。
\[ A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!} \]
组合:\(n\)个数中取\(m\)个的组合。
\[ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]
\((2)\quad\)常见模型
可重复组合:\(n\)个数中可重复的取\(m\)个。
\[ H_n^m = C_{n + m - 1}^m = \frac{(n + m - 1)!}{m!(n-1)!} \]
第二类斯特林数:\(n\)个元素划分成\(m\)个集合。
\[ \left\{\begin{array}{} n \\ m \\ \end{array}\right\} = S(n,m) \]
\[ S(n,m) = m\cdot S(n - 1,m) + S(n - 1, m - 1) \]
特别的:
\[ S(n,n) = 1,\ S(n,0) = 0 \]
集合不同的斯特林数:\(n\)个元素,划分到\(m\)个不同的集合\(m!\cdot S(n,m)\)
错排:\(n\)个数的排列,其中\(n\)不在位置\(n\)上。
\[ D_n = (n - 1)(D_{n - 1} + D_{n - 2}) \]
卡特兰数:\(1,2,5,14,42,132,429,1430,\dots\)
\[ c(n) = \frac{C_{2n}^n}{n + 1} \]
斐波那契数列:
\[ f(i) = f(i - 1) + f(i - 2) \]
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{f(x-1)} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \]
集合计数:
\[ \sum_{i = 1}^n C_n^i = 2^n - 1 \]
3 渐进式
\((1)\quad\)符号
大\(O\)符号:上界。
大\(\Theta\)符号:紧的。
大\(\Omega\)符号:下界。
\((2)\quad\) 主定理
对于递推式\(T(n) = a\cdot T(\frac{n}{b}) + f(n)\)
若\(f(n)<n^{\log_b a}\),\(T(n) = \Theta(n^{log_b a})\)
若\(f(n) = n^{log_b a}\),\(T(n) = \Theta(n^{\log_b a}\log n)\)
否则,\(T(n) = \Theta\left(f(n)\right)\)
4 图论
\((1)\quad\)平面图
对于一个平面图,其最大边数为\(3\cdot |V| - 6\)。
\(s-t\)平面图的对偶图的最短路即为该平面图的最小割,最大流。
\((2)\quad\)二分图
一个图是二分图当且仅当该图不含奇数条边构成的环。
一个二分图若有\(A\)类点\(x\)个,\(B\)类点\(y\)个,则边数最多为\(xy\)。
二分图最大匹配等于该二分图的最小顶点覆盖。
最大独立集\(=|V|-\)最小顶点覆盖。