剑指offer系列（十二）最小的k个数，连续子数组的最大和，整数中1出现的个数

最小的k个数

题目描述

输入n个整数，找出其中最小的K个数。例如输入4,5,1,6,2,7,3,8这8个数字，则最小的4个数字是1,2,3,4,。

解题思路：

思路1，这一题应用堆排序算法复杂度只有O(nlog k)，堆是完全二叉树的一种，最大堆就是最上面的数是最大的，该方法基于二叉树或者堆来实现，首先把数组前k个数字构建一个最大堆，然后从第k+1个数字开始遍历数组，如果遍历到的元素小于堆顶的数字，那么久将换两个数字，重新构造堆，继续遍历，最后剩下的堆就是最小的k个数，时间复杂度O(nlog k)。

思路2：排序

代码：

heapq模块提供了如下几个函数：

heapq.heappush(heap, item) 把item添加到heap中（heap是一个列表）

heapq.heappop(heap) 把堆顶元素弹出，返回的就是堆顶

heapq.heappushpop(heap, item) 先把item加入到堆中，然后再pop，比heappush()再heappop()要快得多

heapq.heapreplace(heap, item) 先pop，然后再把item加入到堆中，比heappop()再heappush()要快得多

heapq.heapify(x) 将列表x进行堆调整，默认的是小顶堆

heapq.merge(*iterables) 将多个列表合并，并进行堆调整，返回的是合并后的列表的迭代器

heapq.nlargest(n, iterable, key=None) 返回最大的n个元素（Top-K问题）

heapq.nsmallest(n, iterable, key=None) 返回最小的n个元素（Top-K问题）

方法一：

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def GetLeastNumbers_Solution(self, tinput, k):
        # write code here
        import heapq #堆
        if tinput == None or len(tinput)<k or len(tinput)<=0 or k <=0:
            return []
        return heapq.nsmallest(k, tinput)

方法二：

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def GetLeastNumbers_Solution(self, tinput, k):
        # write code here
        import heapq
        if tinput == None or len(tinput)<k or len(tinput)<=0 or k<=0:
            return []
        return sorted(tinput)[:k]

连续子数组的最大和

题目描述

HZ偶尔会拿些专业问题来忽悠那些非计算机专业的同学。今天测试组开完会后,他又发话了:在古老的一维模式识别中,常常需要计算连续子向量的最大和,当向量全为正数的时候,问题很好解决。但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边的正数会弥补它呢？例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)。给一个数组，返回它的最大连续子序列的和，你会不会被他忽悠住？(子向量的长度至少是1)

解题思路：

对于连续子数组，可以用一个数值来存储当前和，如果当前和小于零，那么在进行到下一个元素的时候，直接把当前和赋值为下
一个元素，如果当前和大于零，则累加下一个元素，同时用一个maxNum存储最大值并随时更新。也可以利用动态规划解决。

代码：

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def FindGreatestSumOfSubArray(self, array):
        # write code here
        if array ==None or len(array)<=0:
            return 0
        sum = 0
        result = array[0]
        for i in range(len(array)):
            if sum<=0:
                sum = array[i]
            else:
                sum += array[i]
            if sum>result: #######
                result = sum 
        return result

整数中1出现的个数

题目描述

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

解题思路：

法一：将1-n全部转换为字符串，只需要统计每个字符串中'1'出现的次数并相加即可

法二：从1到n遍历，每次通过对10求余数判断整数的个位数字是不是1，大于10的除以10之后再判断。我们对每个数字都要做除法和求余运算以求出该数字中1出现的次数。如果输入数字n，n有O(logn)位，我们需要判断每一位是不是1，那么时间复杂度为O(n*logn)。

法三：

数学之美上面提出的方法，设定整数点（如1、10、100等等）作为位置点i（对应n的各位、十位、百位等等），分别对每个数位上有多少包含1的点进行分析。

根据设定的整数位置，对n进行分割，分为两部分，高位n/i，低位n%i
当i表示百位，且百位对应的数>=2,如n=31456,i=100，则a=314,b=56，此时百位为1的次数有a/10+1=32（最高两位0~31），每一次都包含100个连续的点，即共有(a/10+1)*100个点的百位为1
当i表示百位，且百位对应的数为1，如n=31156,i=100，则a=311,b=56，此时百位对应的就是1，则共有a/10(最高两位0-30)次是包含100个连续点，当最高两位为31（即a=311），本次只对应局部点00~56，共b+1次，所有点加起来共有（a/10*100）+(b+1)，这些点百位对应为1
当i表示百位，且百位对应的数为0,如n=31056,i=100，则a=310,b=56，此时百位为1的次数有a/10=31（最高两位0~30）
综合以上三种情况，当百位对应0或>=2时，有(a+8)/10次包含所有100个点，还有当百位为1(a%10==1)，需要增加局部点b+1
之所以补8，是因为当百位为0，则a/10==(a+8)/10，当百位>=2，补8会产生进位位，效果等同于(a/10+1)

C++版代码实现

代码：

法一：

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
        # write code here
        count = 0
        for i in range(1, n+1):
            for i in str(i):
                if i =='1':
                    count += 1
        return count

法二：

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
        # write code here
        count = 0
        for i in range(0, n+1):
            temp = i
            while temp :
                if temp%10 ==1:
                    count +=1
                temp /=10
        return count

法三：

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
        # write code here
        count = 0
        i = 1
        while i<=n:
            count +=(n//i+8)//10*i+(n//i%10==1)*(n%i+1)
            i *=10
        return count