卡牌配对
「问题描述」
现在有一种卡牌游戏,每张卡牌上有三个属性值:A,B,C。把卡牌分为X,Y两类,分别有n1,n2张。
两张卡牌能够配对,当且仅当,存在至多一项属性值使得两张卡牌该项属性值互质,且两张卡牌类别不同。
比如一张X类卡牌属性值分别是225,233,101,一张Y类卡牌属性值分别为115,466,99。那么这两张牌是可以配对的,因为只有101和99一组属性互质。
游戏的目的是最大化匹配上的卡牌组数,当然每张卡牌只能用一次。
「输入」
数据第一行两个数n1,n2,空格分割。
接下来n1行,每行3个数,依次表示每张X类卡牌的3项属性值。
接下来n2行,每行3个数,依次表示每张Y类卡牌的3项属性值。
「输出」
输出一个整数:最多能够匹配的数目。
「样例输入」
2 2
2 2 2
2 5 5
2 2 5
5 5 5
「样例输出」
2
「提示」
样例中第一张X类卡牌和第一张Y类卡牌能配对,第二张X类卡牌和两张Y类卡牌都能配对。所以最佳方案是第一张X和第一张Y配对,第二张X和第二张Y配对。
另外,请大胆使用渐进复杂度较高的算法!
「数据规模与约定」
对于10%的数据,n1,n2≤ 10;
对于50%的数据,n1,n2≤ 3000。
对于100%的数据,n1,n2≤ 30000,属性值为不超过200的正整数
分析
这个建图可以有
首先n^2建图,当然是不可过的
那怎么办呢?我们思考题目中说“至多有一项属性值互质”--->“至少有两项不互质”-->至少有两项属性值分别含有相同的质因数
由于质因数的大小<200,个数也就只有46个,是个突破口
考虑属性值(a,b,c)总共会出现三种情况:ab,ac,bc(ab表示X类中的a属性,b属性和Y类中的a属性,b属性不互质)
我们在中间建一排点,对于第一类ab(其余类以此类推),考虑 A 项属性值能被 x 整除且 B 项属性值能被 y 整除的所有点(x,y),只要是在这个点连接的两侧一定能够匹配,所以我们在匹配的网络流模型中间增加一排这样的点,满足要求的左右点分别与它相连,边权为正无穷
听说匈牙利只能过10分???哈,还是网络流优秀
牢骚
本来是打算自己好好琢磨琢磨,结果巨神zzh跑过来说这道题建图很妙……一听,我就觉得自己不可做了,然后就……看题解了
但大体思路方向应该还是对了一些的,都是从其属性值下手(<=200)
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define P 205
#define in read()
#define N 80009//pay attention to the 范围……
#define M 4000000
#define inf (1ll<<31)-1
using namespace std;
inline int read(){
char ch;int f=1,res=0;
while((ch=getchar())<'0'||ch>'9') if(ch=='-') f=-1;
while(ch>='0'&&ch<='9'){
res=(res<<3)+(res<<1)+ch-'0';
ch=getchar();
}
return f==1?res:-res;
}
char xxx;
bool mark[P];
int pri[P],num=0;
int n,m,S,T;
struct node{
int x,y,z;
}a[N],b[N];
vector<int > g[205];
int nxt[M],head[N],to[M],cap[M],id[205][205];
int lev[N],cur[N];
char yyy;
inline void init(){
int i,j;
mark[1]=1;
for(i=2;i<=200;++i){
if(!mark[i]) pri[++num]=i;
for(j=1;j<=num&&pri[j]*i<=200;++j){
mark[pri[j]*i]=1;
if(i%pri[j]==0) break;
}
}
for(i=2;i<=200;++i){
for(j=1;j<=num;++j)
if(!(i%pri[j])) g[i].push_back(j);
}
int tot=0;
for(i=1;i<=num;++i)
for(j=1;j<=num;++j)
id[i][j]=++tot;
}
int cnt=1;
inline void add(int x,int y,int z){
nxt[++cnt]=head[x];head[x]=cnt;to[cnt]=y;cap[cnt]=z;
nxt[++cnt]=head[y];head[y]=cnt;to[cnt]=x;cap[cnt]=0;
}
inline void link(int pos,int type){
int x,y,z;
if(!type) x=a[pos].x,y=a[pos].y,z=a[pos].z;
else x=b[pos].x,y=b[pos].y,z=b[pos].z;
int i,j,k;
for(i=0;i<g[x].size();++i)
for(j=0;j<g[y].size();++j)
{
if(!type) add(pos,id[g[x][i]][g[y][j]]+n+m,1);
else add(id[g[x][i]][g[y][j]]+n+m,pos+n,1);
}
for(i=0;i<g[x].size();++i)
for(j=0;j<g[z].size();++j)
{
if(!type) add(pos,id[g[x][i]][g[z][j]]+n+m+46*46,1);
else add(id[g[x][i]][g[z][j]]+n+m+46*46,pos+n,1);
}
for(i=0;i<g[y].size();++i)
for(j=0;j<g[z].size();++j)
{
if(!type) add(pos,id[g[y][i]][g[z][j]]+n+m+46*46*2,1);
else add(id[g[y][i]][g[z][j]]+n+m+46*46*2,pos+n,1);
}
}
inline bool bfs(){
for(int i=S;i<=T;++i){
lev[i]=-1;cur[i]=head[i];
}
queue<int > q;
q.push(S);lev[S]=0;
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(int e=head[u];e;e=nxt[e]){
int v=to[e];
if(cap[e]<=0||lev[v]!=-1) continue;
lev[v]=lev[u]+1;
if(v==T) return true;
q.push(v);
}
}
return false;
}
inline int dinic(int u,int flow){
if(u==T) return flow;
int delta,res=0;
for(int &e=cur[u];e;e=nxt[e]){
int v=to[e];
if(lev[v]>lev[u]&&cap[e]){
delta=dinic(v,min(flow-res,cap[e]));
if(delta){
cap[e]-=delta;cap[e^1]+=delta;
res+=delta;if(res==flow) return res;
}
}
}
return res;
}
int main(){
init();
n=in;m=in;
S=0;T=n+m+46*46*3+1;
int i,j,k;
for(i=1;i<=n;++i) a[i].x=in,a[i].y=in,a[i].z=in;
for(i=1;i<=m;++i) b[i].x=in,b[i].y=in,b[i].z=in;
for(i=1;i<=n;++i) add(S,i,1),link(i,0);
for(i=1;i<=m;++i) add(i+n,T,1),link(i,1);
int maxflow=0;
while(bfs()) maxflow+=dinic(S,inf);
printf("%d",maxflow);
return 0;
}