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原题:
Problem Description
我们知道,在编程中,我们时常需要考虑到时间复杂度,特别是对于循环的部分。例如,
如果代码中出现
for( i=1; i<=n; i++) OP ;
那么做了n次OP运算,如果代码中出现
for(i=1; i<=n; i++)
for(j=i+1; j<=n; j++) OP;
那么做了n*(n-1)/2 次OP 操作。
现在给你已知有m层for循环操作,且每次for中变量的起始值是上一个变量的起始值+1(第一个变量的起始值是1),终止值都是一个输入的n,问最后OP有总共多少计算量。
Input
有T组case,T<=10000。每个case有两个整数m和n,0 < m <= 2000,0 < n <= 2000.
Output
对于每个case,输出一个值,表示总的计算量,也许这个数字很大,那么你只需要输出除1007留下的余数即可。
Sample Input
2
1 3
2 3
3
3
解题思路:
杨辉三角 重要概念:
- 第n行数字和为2^(n-1)。
- 第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1),即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
- 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ,为组合数性质之一。
- 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和,这也是组合数的性质之一。即 C(n+1, i) = C(n, i) + C(n, i-1)。
- 二项式定理:(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
解题思路:
这道题利用 排列组合Cn(m)(也就是从n个元素中任取m个元素)的思考方式,实现过程用杨辉三角。
假设现在有4个 小球 A B C D 要从中取2个 用排列组合的方式:先取A 然后可以依次取 B C D ;接下来 取B 然后可以依次取C D ; 接下来取C ,但只能取剩下的D; 这样就有3 + 2 + 1 = 6 种组合C( 4 , 2 ) = C( 3 , 1) + C( 3 , 2) = 3 + 3。
这里的4 就是题目的n, 这里的2就是题目的m(循环次数);
所以题目问的操作次数 也就是 问有多少种取球方式;
代码:
#include <cstdio>
int result[2001][2001];
void preprocessing()//预处理(杨辉三角)
{
for (int i = 0; i < 2001; i++)
result[i][0] = result[i][i] = 1;
for (int i = 2; i < 2001; i++)
for (int j = 1; j < i; j++)
result[i][j] = (result[i - 1][j] + result[i - 1][j - 1]) % 1007;
}
int main()
{
preprocessing();
int T, m, n;
scanf_s("%d", &T);
while (T--)
{
scanf_s("%d%d", &m, &n);
printf("%d\n", result[n][m]);
}
}