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斐波那契数列
指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义:F(1)=1,F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3,n∈N*)。
1.题目
1.1.求斐波那契数列的第n项的值
2.2.求斐波那契数列前n项的和
2.例子
2.1.求第n项的值
输入:6
输出:8
2.2.求前n项的和
输入:6
输出:20
3.解析
3.1.求第n项的值
3.1.1找出斐波那契数列的规律,用不断的递归解决,但递归的时间复杂度为O(2^n)。
3.1.2另一种方式是自底向上求解,从1,2推导3。再从2,3推导出4。也就是说,我们想要求第n项的值的话,只需要知道n-1和n-2的值就可以了,而不需要像递归那样所有的值都求出来。
3.2.求前n项的和
3.2.1在递归的基础上,再加一个sum存储前n项的和
3.2.2求前n项的和我们可以推导出一条公式:Sn = A(n+2) - 1。我们可以直接用求第n项的值的方法来求出A(n+2) - 1,就可以得出前n项的和了。
这个公式是怎么得到的呢?很简单。
求和:Sn=a1+a2+a3+……+An
- Sn也可以写成Sn=1+a1+a2+a3+……+An-1
- 因为a2等于1,所以Sn=a2+a1+a2+a3+……+An-1
- 即:Sn=a2+a1+a2+a3+……+An-1
Sn=a3+a2+a3+……+An-1
Sn=a4+a3+……+An-1……
Sn=An+A(n-1)+An-1 - 即:Sn=A(n+1)+An-1=A(n+2)-1
4.递归求法,时间复杂度O(2^n)
4.1.求第n项的值
public int Fibonacci(int n) {
if(n < 0){
return 0;
}
if(n == 0){
return 0;
}
if(n == 1){
return 1;
}
return Fibonacci(n-1)+ Fibonacci(n-2);
}
4.2.求前n项和
public static int FibonacciSum(int n) {
int sum = 0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
sum += Fibonacci(i); //累加前n项
}
return sum;
}
5.非递归求法,时间复杂度O(n)
5.1.求第n项的值
private int fibonacci(int n){
int f1 = 1;
int f2 = 1;
int prePreFib = f1;
int preFib = f2;
int fib = 0;
int flag = 2;
if (n == 1 || n == 2){
return f1;
}
if (n >= 3){
while (flag < n){
fib = preFib + prePreFib;
prePreFib = preFib;
preFib = fib;
flag++;
}
}
return fib;
}
5.2.求前n项和
private int fibonacciSum(int n){
return fibonacci(n+2) - 1;
}