这一部分内容没有重要的内容(个人觉得哈,毕竟没有谁会手算行列式之类的吧,所以简单了解一下就好了…反正我已经修过线性代数了哈哈)
本讲的主要内容:
- 行列式公式
- 代数余子式的概念以及计算方法
- 三对角线矩阵行列式规律
- 矩阵逆的公式
- 克拉默法则
- 行列式与体积的关系
行列式公式
利用上一讲里拆分的性质,可以归纳出这个公式,就比如这样:
最终公式为:
detA=∑±a1αa1βa1γ...a1ω,α,β,γ....ω,perm(1...n)
这个求和公式共有
n! 项相加,简单来说,行列式的值就是从每列每行中取出一个元素,对这些元素进行累乘,,而对于一个
n阶的方阵,这张排列方式有
n! 中,对这些项求和,同时要考虑这些项的符号问题,其实就是看将这些排列恢复成从小到大(按列)的标准顺序所需要交换的次数,我们之前的性质里讲到了交换会使得行列式换号,所以如果总的交换次数是奇数,那么就是-1,反之就是1。(比如按列的序号排列是132,那么恢复成标准顺序是123,交换了一次,所以应该是-1,这里其实是有逆序数的概念,不过意思就是这样)
代数余子式(cofactor)
代数余子式用来对原来的方阵进行划分,直接描述:
cofactoraij=±((n−1)matrixwithoutrowi,columnj)
关于某个元素的代数余子式,其数值部分等于去掉这个元素所在的行列之后的矩阵的行列式,对于符号,如果
(i+j) 是奇数,那么符号为负,否则为正。所以,如果我们想要计算行列式的话,可以使用代数余子式的形式进行不断的 “降阶”, 简化成容易计算的形式(当然,也很麻烦)。可以先应用之前的性质,将行列式转化为某一列只有一个非零数,那么就会简单许多了。
一个三对角线的例子
这个例子是:
∣∣∣∣∣∣∣∣1100111001110011∣∣∣∣∣∣∣∣
这个方阵很有特点,可以说是有 “三条对角线”, 如果我们使用上面的代数余子式的方法进行化简结果,就会发现
∣An∣=∣An−1∣+∣An−2∣ ,例如:自左上角的矩阵开始,计算三阶(
∣∣∣∣∣∣110111011∣∣∣∣∣∣)的行列式,那么等于二阶的(
∣∣∣∣1111∣∣∣∣)减去一阶(
∣1∣)的行列式。
逆矩阵公式
直接给出公式:可以根据代数余子式具体展开按每列的方式进行验证
A−1=detA1CT
这里
C 是指每个位置元素的代数余子式组成的矩阵,
CT 一般称为伴随矩阵。
克拉默(Crammer)法则
首先要明确,克拉默发则形式很好看,但是非常不实用。对于方程
Ax=b 写成逆矩阵形式
x=A−1b ,代入上面得到的逆矩阵公式:
x=detA1CTb,对于方程的不同解,有如下式子成立:
x1=detA1B1x2=detA1B2...x3=detA1B3
解都有统一的形式,只是矩阵
B 不同,对于
Bj 就等于矩阵
A 将第
j 列替换为
b。这个法则形式好看大于实用价值,因为行列式值实在不好计算。
行列式与体积的关系
行列式其实是列向量构成的那个多面体的体积,举例子来说,一个3*3的矩阵,一般情况下,三个列向量在不同方向上可以构成一个平行六面体,那么这个平行六面体的体积就是这个矩阵的行列式值。这里如果是两个二维向量
(a,b),(c,d) 分别平移之后形成一个平行四边形,计算这个平行四边形的面积,使用行列式的方式就是
S=ad−bc 比之前的底乘高的方式要简单一些。对于更加一般的情况(这两个向量的的起点不在原点),有下面的面积公式:
S=21∣∣∣∣∣∣x1x2x3y1y2y3111∣∣∣∣∣∣
其中
x,y分别是三个点的坐标。
这一部分作了解。
以上~