范数(norm)
范数是数学中的一个基本概念,它常常用来度量某个向量空间(或矩阵)中的每个向量的长度或者大小,以此来进行比较。
向量的范数
对向量的范数先进行一个直观的认识。此处引用知乎作者Faaany所举的例子:
在一维的实数集合中,我们随便指出两个数字,如4和9,就很容易可以得到9>4。但是当到了二维实数空间中,如(1,1)和(0,3)就没有办法进行比较了。但是如果引入了范数这个概念,我们就可以将(1,1)和(0,3)作为两个向量,通过范数映射。
到实数和3,这样我们就可以进行比较了。所以这时可以看出,范数作为了一个函数,它将不能进行比较的向量转换为了可以比较的实数。
下面介绍向量的几种常用的范数:
1-范数
即向量中所有元素的绝对值之和。
2-范数
即向量中每个元素的平方和再开平方根,即欧氏距离。
-范数
即所有向量元素中的最大值。
--范数
即所有向量元素中的最小值。
p-范数
即所有向量元素的p次方之和的1/p次幂。
最后以知乎作者黄大宁cn举的例子加深对向量的范数的印象:
“
佟湘玉有一天在同福客栈说:“额滴神呐,展堂,你说隔壁的赛貂蝉有什么好。”老白:“她没你温柔,没你贤惠,没你大气,没你端庄。”佟湘玉:“那为啥你们总往她那跑呢?”老白:“因为他的相貌是满分啊”。
”
看到没有?如果用二范数来衡量赛貂蝉和佟湘玉,那么可以说佟湘玉并不占下风,但是压不住人家赛貂蝉有一个满分啊,也就是说,从无穷范数的角度来看,赛貂蝉的稳稳超过佟湘玉的。
矩阵的范数
假设矩阵的大小为m×n,即m行n列。再举个例子:
1-范数
也称列和范数。即矩阵列向量中绝对值之和的最大值。
先计算每列的绝对值之和就可以得到[5 7 9],然后取最大值就是9。
2-范数
又称谱范数,计算方法是矩阵的最大特征值的平方根。
其中,是的最大特征值。
-范数
又称行和范数。即矩阵行向量中绝对值之和的最大值。
则上面的例子得到的就是[6, 16],在取最大值就是16。
F-范数
Frobenius范数,计算方法就是矩阵中各个元素的绝对值的平方和在开方。
ref:https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/51945271