一、堆排序的概念
堆的定义:
设有n个元素的序列当且仅当满足下述关系之一时,称之为堆。
(1) 且 或者是
(2) 且
解释:如果让满足以上条件的元素序列()依次顺序排成一颗完全二叉树,则此树的特点是:树中所有结点的值均大于(或小于)其左右孩子,此树的根结点(即堆顶)必最大(或最小)。
二、怎样建堆(如何调整堆)
建堆的步骤:
从最后一个非终端结点开始往前逐步调整,让每个双亲大于(或小于)子女,直到根节点为止。
注意:终端结点(即叶子)没有任何子女,无需单独调整。
建堆的具体做法:
(1)将原始序列转换成完全二叉树。
(2)从序号最大的非叶子节点开始遍历,左右孩子中有比它大的,交换该节点和叶子的位置。
(3)父节点和较大的孩子节点交换后,新的父节点是稳定的,但是新的孩子节点可能不满足大顶堆规则,而另一边的孩子不会受影响。
(4)继续对新孩子进行调整判断,直至新孩子满足规则,或者没有新孩子为止。
建堆的一些性质:
(1)根据堆的性质,可以直接通过数组索引映射堆中父子节点的关系。
(2)需要排序的数组对应堆的层序遍历。
(3)堆满足一些公式:
左孩子 = arr[2i+1]
右孩子 = arr[2i+2]
大顶堆:arr[i]>=arr[2i+1] && arr[i]>=arr[2i+2]
小顶堆:arr[i]<=arr[2i+1] && arr[i]<=arr[2i+2]
最后一个非叶子节点下标 = length/2-1
第一个叶子节点下标 = length/2
最后一个叶子节点 = length - 1
(4)堆调整是从最后一个非叶子节点(下标时length / 2 - 1)开始。
(5)从小到大排序,调整为大顶堆。
三、怎样进行堆排序
关键:确定当前堆顶节点为最值后,如何将剩余序列重新调整为堆?
方法:将当前堆顶节点与堆尾记录交换,然后仿建堆动作重新调整,如此反复直到排序结束。
基于初始堆进行堆排序的算法步骤:
(1)堆的第一个对象arr[0]具有最大的关键码,将arr[0]与arr[length - 1]交换,把具有最大关键码的对象交换到最后。
(2)再对前面的(length - 1) 个对象,使用堆的调整算法,重新建立堆。结果具有次最大关键码的对象又上浮到堆顶,即arr[0]位置。再交换arr[0]和arr[length - 2]。
(3)调用建堆的调整算法对前面(length - 2)个对象重新调整。如此反复,知道得到全部排序好的对象序列。
堆排序的算法分析:
(1)时间效率:O()
(2)空间效率:O(1)
(3)稳定性:不稳定
(4)特点:对小文件效果不明显,但对大文件有效。
四、利用大顶堆进行排序的Java代码
public class GetLeastNumbers {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] arr = {79, 66, 43, 83, 30, 87, 38, 55};
HeapSort(arr);
for (int i : arr) {
System.out.println(i);
}
}
public static void HeapSort(int[] a) {
// 初始建堆
for (int i=a.length/2-1; i>=0; i--) { //从最后一个非叶子节点开始,从左向右,从下往上,调整成大顶堆
HeapAdjust(a, i, a.length);
}
// 交换元素后,调整堆
for (int i=a.length-1; i>0; i--) {
swapReferences(a, 0, i); // 调整堆顶元素与末尾元素
HeapAdjust(a, 0, i); // 重新调整(堆顶),堆的范围是length - 1, 最后一个元素已经从堆中排除
}
}
/**
* 在数组中交换两个元素
* @param a 数组
* @param index1 下标1
* @param index2 下标2
*/
public static void swapReferences(int[] a, int index1, int index2) {
int tmp = a[index1];
a[index1] = a[index2];
a[index2] = tmp;
}
/**
* 调整堆的思路:从序号最大的非叶子节点开始便利,左右孩子中有比它大的,交换该节点和叶子的位置
* 父节点和较大的孩子节点交换后,新的父节点是稳定的,但是新的孩子节点可能不满足大顶堆规则,而另一边的孩子不会受影响,
* 所以要继续对新孩子进行调整判断,直至新孩子满足规则,或者没有新孩子为止
*/
public static void HeapAdjust(int[] a, int i, int n) {
int child;
int tmp; // 保存待调整的父亲节点
// 从最后一个非叶子节点开始
for (tmp = a[i]; leftChild(i) < n; i=child) { // 交换以后,调下去的节点可能会依旧不平衡
child = leftChild(i); // 取得左孩子的下标
//child=n-1, 说明只有一个左孩子,直接到下一步
if (child != n - 1 && a[child] < a[child+1]) { //找出两个孩子中较大的
child++;
}
if (tmp < a[child]) { //如果堆顶小于比较大的孩子,交换位置
a[i] = a[child];
} else {
break;
}
}
a[i] = tmp; // 父节点元素给child
}
public static int leftChild(int i) {
return 2 * i + 1;
}
}