#最大公约数
之前,我们学过约数,这次,我们需要找到2个数
a,b的最大的公约数,我们设
d=gcd(a,b)为
a,b的最大公约数
所以有
d∣a,
d∣b,设
a=kb+r,其中k为整数
所以
r=a−kb,根据整除的性质,可得
d∣r
故d也是r的公因数,若
gcd(b,r)=c,则
d<=c
又有
c∣r,
c∣b,
a=kb+r,所以
c∣a
所以c是a、b的公约数,即
c<=d,综上所以
c=d
所以
gcd(a,b)=gcd(b,amodb),同理也可证=gcd(bmoda,a)
###code
#include <iostream>
using namespace std;
int gcd1 (int a, int b) {
return b ? gcd1(b, a % b) : a;
}
int gcd2 (int a,int b) {
return a ? gcd2(b % a, a) : b;
}
int main () {
int m,n;
cin >> m >> n;
cout << gcd1 (m,n) << " " << gcd2 (m,n);
}
#最小公倍数
设
a,b的最小公倍数为
L,最大公因数为
D
所以有
L∣a,
L∣b
且有
a=Dx,
b=Dy(显然有
x,y互质)
故满足
L∣D,L∣x,L∣y,所以满足条件的最小的
L=D×x×y=a÷D×b
其实这里可以使用唯一分解定理证明
设
a=p1a1×p2a2×...×pnan
b=p1b1×p2b2×...×pnbn
则明显
D=gcd(a,b)=p1min(a1,b1)×p2min(a2,b2)×...×pnmin(an,bn)
而
L=lcm(a,b)=p1max(a1,b1)×p2max(a2,b2)×...×pnmax(an,bn)
可得
L=a÷D×b