整理自极客时间-数据结构与算法之美。原文内容更完整具体,且有音频。购买地址:
只要讲到数据结构与算法,就一定离不开时间、空间复杂度分析。而且 我个人认为复杂度分析是真个算法的精髓,只要掌握了它,数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。
1.为什么需要复杂度分析?
你可能会有些疑惑,我把代码跑一遍,通过统计、监控,就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢?
首先肯定的说,这种评估算法执行效率的方法是正确的。很多书籍管这种方法叫“事后统计法”。但是这种方法有很大的局限性:
- 测试结果非常依赖测试环境:如测试环境中的硬件对测试j结果影响很大。
- 测试结果受数据规模的影响很大。如小规模的数据 插入排序反而比快速排序快。
所以,我们需要一个不用具体数据来测试,就可以粗略的估算执行效率的方法。
2.大O复杂度表示法
算法的执行效率,粗略的讲,就是算法的执行时间。
例子1:
//这里有段简单的代码,求1到n的累加和。
int cla(int n){
int sum = 0;
int i = 1;
for (;i<=n; i++){
sum = sum + 1;
}
return sum;
}
现在我们来估算下,上述代码的执行时间:
尽管每行代码对应cpu执行的个数、执行的时间都不一样,但是我们这里只是粗略的估计,所以我们可以假设每行代码执行的时间都一样,都为unit_time。在这个假设的基础上,我们进行分析!
第3、4行都执行了一次,第5、6行都执行了n次。所以这段代码总执行2*unit_time+2n*unit_time。可以看出代码的执行时间(T(n))与代码的执行次数成正比。
例2:
int cal(int n){
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for(; i<= n ;i++){
j = 1;
for(; j <= n ; j++){
sum = sum + i*j;
}
}
}
我们依旧按照例1中的方法进行分析。
第2、3、4行代码都分别执行了一次。第5、6行都循环执行了n次,需要2n*unit_time 的执行时间。第7、8行都执行了n*n次,需要2n*n*unit_time的执行时间。 所以例2的总的执行时间为3*unit_time+2n*unit_time+2n*n*unit_time。
通过两个例子,我们可以得出一个规律:所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数n成正比。
我们可以把这个规律总结成一个公式。注意,大 O 就要登场了!
我们来解释一下这个公式。T(n)表示代码的执行时间;n表示数据规模的大小;f(n)表示每行代码执行次数的总和。因为这是一个公式,所以用f(n)表示。公式中的O,表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比。
所以,第一个例子中Tn=O(2n+1),第二个例子中的Tn=O(2n*n+2n+3)。这就是大O时间复杂度表示法。大O时间复杂度实际上并不代表代码的具体执行时间,而是表示代码的执行时间随数据规模增长的变化趋势,所以也叫做时间渐进复杂度(asymptotic time complexity),简称时间复杂度。
当 n 很大时,公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势,所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了,如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度,就可以记为:T(n) = O(n); T(n) = O(n*n)。
3.时间复杂度分析
前面介绍了大 O 时间复杂度的由来和表示方法。现在我们来看下,如何分析一段代码的时间复杂度?我这儿有三个比较实用的方法。
a) 只关注循环执行次数最多的一段代码
我刚才说了,大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数,只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以,我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候,也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级,就是整段要分析代码的时间复杂度。
例1:
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间,与 n 的大小无关,所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码,所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过,这两行代码被执行了 n 次,所以总的时间复杂度就是 O(n)。
b)加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
例2:
int cal(int n) {
int sum_1 = 0;
int p = 1;
for (; p < 100; ++p) {
sum_1 = sum_1 + p;
}
int sum_2 = 0;
int q = 1;
for (; q < n; ++q) {
sum_2 = sum_2 + q;
}
int sum_3 = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum_3 = sum_3 + i * j;
}
}
return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}
这个代码分为三部分,分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度,然后把它们放到一块儿,再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。
第一段代码循环执行了 100 次,所以是一个常量的执行时间,跟 n 的规模无关。
这里我要再强调一下,即便这段代码循环 10000 次、100000 次,只要是一个已知的数,跟 n 无关,照样也是常量级的执行时间。当 n 无限大的时候,就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响,但是回到时间复杂度的概念来说,它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势,所以不管常量的执行时间多大,我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。
那第二段代码时间复杂度是O(n);第三段代码的时间复杂度是O(n*n)。
综合这三段代码的时间复杂度,我们取其中最大的量级。所以,整段代码的时间复杂度就为 O(n*n)。也就是说:总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是:如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))。
c.乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
落实到具体的代码上,我们可以把乘法法则看成是嵌套循环;
例3:
int cal(int n) {
int ret = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
ret = ret + f(i);
}
}
int f(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作,那第 4~6 行的时间复杂度就是,T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作,它的时间复杂度是 T2(n) = O(n),所以,整个 cal() 函数的时间复杂度就是,T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。
我刚刚讲了三种复杂度的分析技巧。不过,你并不用刻意去记忆。实际上,复杂度分析这个东西关键在于“熟练”。你只要多看案例,多分析,就能做到“无招胜有招”。
4.几种常见时间复杂度实例分析
对于复杂度量级,我们可以粗略地分为两类,多项式量级和非多项式量级。其中,非多项式量级只有两个:O(2n)(2的n次方) 和 O(n!)。
- O(1) 常数阶:O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法,并不是指只执行了一行代码。只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长,这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说,一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是Ο(1)。
- O(logn)、O(nlogn) 对数阶: 对数阶时间复杂度非常常见,同时也是最难分析的一种时间复杂度。通过一个例子来说明一下。
i=1; while (i <= n) { i = i * 2; }
根据我们前面讲的复杂度分析方法,第三行代码是循环执行次数最多的。所以,我们只要能计算出这行代码被执行了多少次,就能知道整段代码的时间复杂度。
从代码中可以看出,变量 i 的值从 1 开始取,每循环一次就乘以 2。当大于 n 时,循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗?实际上,变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来,就应该是这个样子的:
通过 2x(2的x次方)=n 求解 x 。x=,所以,这段代码的时间复杂度就是 O()。
现在,我把代码稍微改下,你再看看,这段代码的时间复杂度是多少?i=1; while (i <= n) { i = i * 3; }
据我刚刚讲的思路,很简单就能看出来,这段代码的时间复杂度为 O()。
实际上,不管是以 2 为底、以 3 为底,还是以 10 为底,我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。
我们知道,对数之间是可以互相转换的, 就等于 * ,所以 O() = O(C * ),其中 C=是一个常量。基于我们前面的一个理论:在采用大 O 标记复杂度的时候,可以忽略系数,即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以,O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此,在对数阶时间复杂度的表示方法里,我们忽略对数的“底”,统一表示为 O(logn)。 -
O(m+n)、O(m*n):我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度,代码的复杂度由两个数据的规模来决定。先看代码:
int cal(int m, int n) { int sum_1 = 0; int i = 1; for (; i < m; ++i) { sum_1 = sum_1 + i; } int sum_2 = 0; int j = 1; for (; j < n; ++j) { sum_2 = sum_2 + j; } return sum_1 + sum_2; }
从代码中可以看出,m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大,所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。所以,上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。
针对这种情况,原来的加法法则就不正确了,我们需要将加法规则改为:T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。
5.空间复杂度分析
前面我讲过,时间复杂度的全称是渐进时间复杂度,表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下,空间复杂度全称就是渐进空间复杂度(asymptotic space complexity),表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
例子:
void print(int n) {
int i = 0;
int[] a = new int[n];
for (i; i <n; ++i) {
a[i] = i * i;
}
for (i = n-1; i >= 0; --i) {
print out a[i]
}
}
跟时间复杂度分析一样,我们可以看到,第 2 行代码中,我们申请了一个空间存储变量 i,但是它是常量阶的,跟数据规模 n 没有关系,所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组,除此之外,剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。
我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 ),像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且,空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以,对于空间复杂度,掌握刚我说的这些内容已经足够了。
6.小结
复杂度也叫渐进复杂度,包括时间复杂度和空间复杂度,用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系,可以粗略地表示,越高阶复杂度的算法,执行效率越低。常见的复杂度并不多,从低阶到高阶有:O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。等你学完整个专栏之后,你就会发现几乎所有的数据结构和算法的复杂度都跑不出这几个。