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又一个庞果网的题目
题目描述
1
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1
以上三角形的数阵,第一行只有一个数1, 以下每行的每个数,是恰好是它上面的数,左上的数和右上数等3个数之和(如果不存在某个数,认为该数就是0)。
求第n行第一个偶数出现的位置。如果没有偶数,则输出-1。
例如
- 输入1,则输出-1
- 输入3,则输出2
- 输入4,则输出3。
- 输入n(n <= 1000000000)
思路
刚开始没看清题目,以为是说杨辉三角形呢,结果是杨辉三角形的变形,和是上面的三个数字,稍微复杂一点点。
首先,我们把这个三角形写全面一点
1
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1
1 4 10 16 19 16 10 4 1
1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1
1 6 21 50 90 126 141 126 90 50 21 6 1
很明显,再往下写靠笔算就比较困难的,现在能找到的规律就是如果是奇数排,第二个肯定是偶数。
那么,对于一个数的奇偶性,有些什么性质呢?初中数学我们就知道:
- 两个奇数的和是偶数
- 三个奇数的和是奇数
- 一个奇数两个零的和是奇数
- 任意偶数的和还是偶数
好了,有了这几个性质,我们不来写三角形了,就写三角形的奇偶性,我们用1
表示奇数,用0
表示偶数,那么,三角形变成了
1
1 1 1
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
这个三角形太大了,画不下,有兴趣的可以自己画一下。 然后非常明显的,看看每一行的前几个数,从第三行开始,分别是:
- 10
- 110
- 10
- 1110
- 10
- 110
- 10
- 1110
。。。。。
好了,规律很明显吧。至于这个规律的证明,我想到了一个绝妙的证明,只是这地方太小了,写不下来,哈哈哈哈。。。
既然有这规律,那程序相当简单了。。。
int run(int n)
{
if(n<2)
return -1; // 1行和2行
if(n%2==1)
return 2; // 10的情况
if(n%4==0)
return 3; // 110的情况
else
return 4; // 1110的情况
return 1;
}