分析有不对的地方,希望能被指出来 ,谢谢!
一个城市红车占15%, 白车占85%, 一个晚上发生了车祸,肇事者逃逸,只有一个人见证了这场车祸,目击者指认现场时候声称肇事车辆是白色车辆,专家鉴定后说:目击者指认肇事车为白车正确的概率是80%,问你,肇事车辆是白色的概率是多少?
【答】: 这是一道关于条件概率的题,所以要先将事件划分出来,理清事件之间的条件关系,确定题目问的是哪种概率。
专家的鉴定是指对目击者在那种条件下判断能力的鉴定,是只依赖于现场环境和目击者的认知能力的判断。
涉及的概率包括:
- 该城市随便抽一个车是红车概率 0.15, 白车 0.85;
- 目击者判断正确的概率是0.8, 错误的概率是0.2;
肇事车本身是什么颜色,由先验概率(0.85,0.15)给定,目击者的指认改变了对车颜色的判断概率,而目击者的判断又带有不确定性(0.8,0.2), 所以最后问的就是有目击者判断扰动后的车颜色概率。
定义
A=目击者指认白色,
B=肇事车是白车
P(B)=0.85,P(非B)=0.15.
目击者指认车的颜色是受车颜色的先验概率影响的。
目击者指认白车事件包括:指认白车且正确, 指认白车且判断错误,
P(A)=P(A,B)+P(A,非B)=0.85∗0.8+0.15∗0.2=0.71
同理,
P(非A)=P(非A,B)+P(非A,非B)=0.15∗0.8+0.85∗0.2=0.29.
问题问的是已知目击者指认白车,肇事车是白车的概率是多少:
P(B∣A)=P(A)P(AB)=0.710.85∗0.8≈0.958
【延伸】
- 若是目击者指认白车,则肇事车是红车的概率为,
P(非B∣A)=0.710.15∗0.2=0.0423。
- 若是目击者指认红车,则肇事车是白车的概率为,
P(B∣非A)=0.290.85∗0.2=0.586,
- 若是目击者指认红车,则肇事车是红车的概率为,
P(非B∣非A)=0.290.15∗0.8=0.4138。
一个事件发生的概率是1%, 问做100次实验,至少有一次成功的概率是多少?
A. 接近 100%
B. 接近 99%
C. 接近 70%
D. 接近 60%
【答】: 取互补事件,至少一次的互补为:做100次,没有一次成功的概率
P100fail=(1−0.01)100, 所以问题的答案是
P=1−(1−0.01)100; 现在来估算$(1-0.01)^{100} $, 考虑到
(1−n1)n 在
n 趋于无穷大的时候趋于
1/e, 即
n→∞lim(1−n1)n=e1,
考虑到
n=100 可以算是足够大了,我们用
1/e来作为 $(1-0.01)^{100} $的近似,
(1−1001)100≈1/e≈1/2.72, 所以
P≈1−2.71=0.63.