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1. Bloom Filter简介
布隆过滤器 (Bloom Filter
)是由Burton Howard Bloom于1970年提出,它是一种space efficient
的概率型数据结构,用于判断一个元素是否在集合中 。在垃圾邮件过滤的黑白名单方法、爬虫(Crawler)的网址判重模块中等等经常被用到。哈希表也能用于判断元素是否在集合中,但是布隆过滤器只需要哈希表的1/8或1/4的空间复杂度就能完成同样的问题 。
1.1 Bloom Filter特点
布隆过滤器可以插入元素,但不可以删除已有元素。
Bloom Filter的这种高效是有一定代价的:在判断一个元素是否属于某个集合时,有可能会把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合(false positive
)。
其中的元素越多,false positive rate
(误报率)越大,但是false negative
(漏报)是不可能的。
因此,Bloom Filter
不适合那些“零错误 ”的应用场合。而在能容忍低错误率的应用场合下,Bloom Filter
通过极少的错误换取了存储空间的极大节省。
2. 集合表示和元素查询
2.1 集合表示
下面我们具体来看Bloom Filter
是如何用位数组表示集合的。初始状态时,Bloom Filter
是一个包含m
位的位数组,每一位都置为
0
。
为了表达
S = x 1 , x 2 , … , x n
这样一个
n
个元素的集合,Bloom Filter
使用
k
个相互独立的哈希函数(Hash Function) ,它们分别将集合中的每个元素映射到
{ 1 , … , m }
的范围中。对任意一个元素
x
,第
i
个哈希函数映射的位置
h i ( x )
就会被置为
1 ( 1 ≤ i ≤ k )
。注意,如果一个位置多次被置为
1
,那么只有第一次会起作用,后面几次将没有任何效果。在下图中,
k = 3
,且有两个哈希函数选中同一个位置(从左边数第五位)。
2.2 元素查询
在判断
y
是否属于这个集合时,我们对
y
应用
k
次哈希函数,如果所有
h i ( y )
的位置都是
1 ( 1 ≤ i ≤ k )
,那么我们就认为
y
是集合中的元素,否则就认为
y
不是集合中的元素。下图中
y 1
就不是集合中的元素。
y 2
或者属于这个集合,或者刚好是一个false positive 。
3. 错误率估计
前面我们已经提到了,Bloom Filter
在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率(false positive rate) ,下面就来估计错误率的大小。在估计之前为了简化模型,我们假设
k n < m
。且各个哈希函数是完全随机的。当集合
S = x 1 , x 2 , … , x n
的所有元素都被
k
个哈希函数映射到
m
位的位数组中时,这个位数组中某一位还是
0
的概率是:
p ′ = ( 1 − 1 m ) k n ≈ e − k n m (1)
其中
1 / m
表示任意一个哈希函数选中这一位的概率(前提是哈希函数是完全随机的),
( 1 − 1 / m )
表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把
S
完全映射到位数组中,需要做
k n
次哈希。某一位还是
0
意味着
k n
次哈希都没有选中它,因此这个概率就是
( 1 − 1 / m )
的
k n
次方。令
p = e − k n m
是为了简化运算,这里用到了计算
e
时常用的近似:
lim x → ∞ ( 1 − 1 m ) − x = e (2)
令
ρ
为位数组中
0
的比例,则
ρ
的数学期望
E ( ρ ) = p ′
。在
ρ
已知的情况下,要求的错误率(false positive rate)为:
( 1 − ρ ) k ≈ ( 1 − p ′ ) k ≈ ( 1 − p ) k (3)
( 1 − ρ )
为位数组中
1
的比例,
( 1 − ρ ) k
就表示
k
次哈希都刚好选中
1
的区域,即false positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了,现在来看第一步近似。
p ′
只是
ρ
的数学期望,在实际中
ρ
的值有可能偏离它的数学期望值。M. Mitzenmacher已经证明 ,位数组中
0
的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近 。因此,第一步的近似得以成立。分别将
p
和
p ′
代入上式中,得:
f ′ = ( 1 − ( 1 − 1 m ) k n ) k = ( 1 − p ′ ) k (5)
f = ( 1 − e − k n m ) k = ( 1 − p ) k (6)
相比
p ′
和
f ′
,使用
p
和
f
通常在分析中更为方便。
4. 最优的哈希函数个数
既然Bloom Filter
要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中,那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢? 这里有两个互斥的理由:如果哈希函数的个数多,那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到
0
的概率就大;但另一方面,如果哈希函数的个数少,那么位数组中的
0
就多。 为了得到最优的哈希函数个数,我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。
先用
p
和
f
进行计算。注意到
f = e ( k ln ( 1 − e − k n m ) )
,我们令
g = k ln ( 1 − e − k n m )
,只要让
g
取到最小,
f
自然也取到最小。由于
p = e − k n m
,我们可以将
g
写成
g = k ln ( 1 − p ) = − m n ln ( p ) ln ( 1 − p ) (7)
根据对称性法则可以很容易看出当
p = 1 2
,也就是
k = ln 2 ⋅ m n
时,
g
取得最小值。
在这种情况下,由公式
( 6 )
可知,最小错误率
f = 1 2 k = 1 2 ln 2 ⋅ m n ≈ ( 0.6185 ) m n
。另外,注意到
p
是位数组中某一位仍是
0
的概率,所以
p = 1 2
对应着位数组中0和1各一半 。换句话说,要想保持错误率低,最好让位数组有一半还空着。
需要强调的一点是,
p = 1 2
时错误率最小这个结果并不依赖于近似值
p
和
f
。同样对于
f ′ = e ( k ln ( 1 − ( 1 − 1 m ) k n ) )
,
g ′ = k ln ( 1 − ( 1 − 1 m ) k n )
,
p ′ = ( 1 − 1 m ) k n
,我们可以将
g ′
写成
g ′ = 1 n ln ( 1 − 1 m ) ln ( p ′ ) ln ( 1 − p ′ ) (8)
同样根据对称性法则可以得到当
p ′ = 1 2
时,
g ′
取得最小值。
5. 位数组的大小
下面我们来看看,在不超过一定错误率的情况下,Bloom Filter
至少需要多少位才能表示全集中任意
n
个元素的集合。假设全集中共有
u
个元素,允许的最大错误率为
ε
,下面我们来求位数组的位数
m
。
假设
X
为全集中任取
n
个元素的集合,
F ( X )
是表示
X
的位数组。那么对于集合
X
中任意一个元素
x
,在
s = F ( X )
中查询
x
都能得到肯定的结果,即
s
能够接受
x
。显然,由于Bloom Filter
引入了错误,
s
能够接受的不仅仅是
X
中的元素,它还能够 接受
ε ( u − n )
个false positive。因此,对于一个确定的位数组来说,它能够接受总共
n + ε ( u − n )
个元素。在
n + ε ( u − n )
个元素中,
s
真正表示的只有其中
n
个,所以一个确定的位数组 可以表示
C n n + ε ( u − n ) (9)
个集合。
m
位的位数组共有
2 m
个不同的组合,进而可以推出,
m
位的位数组可以表示
2 m ⋅ C n n + ε ( u − n ) (10)
个集合。全集中
n
个元素的集合总共有
C n u (11)
个,因此要让
m
位的位数组能够表示所有
n
个元素的集合,必须有
2 m ⋅ C n n + ε ( u − n ) ≥ C n u (12)
即:
m ≥ log 2 C n u C n n + ε ( u − n ) ≈ log 2 C n u C n ε ⋅ u (13)
上式中的近似前提是
n
和
ε u
相比很小,这也是实际情况中常常发生的,下面进一步简化:
C n u C n ε ⋅ u = = = = = ≥ u ! n ! ( u − n ) ! ( ε u ) ! n ! ( ε u − n ) ! u ! ( ε u − n ) ! ( ε u ) ! ( u − n ) ! { u ( u − 1 ) ( u − 2 ) ⋯ ( u − n + 1 ) ( u − n ) ! } ( ε u − n ) ! ( u − n ) ! { ( ε u ) ( ε u − 1 ) ( ε u − 2 ) ⋯ ( ε u − n + 1 ) ( ε u − n ) ! } u ( u − 1 ) ( u − 2 ) ⋯ ( u − n + 1 ) ( ε u ) ( ε u − 1 ) ( ε u − 2 ) ⋯ ( ε u − n + 1 ) u ( u − 1 ) ( u − 2 ) ⋯ ( u − n + 1 ) ε n u ( u − 1 ε ) ( u − 2 ε ) ⋯ ( u − n − 1 ε ) 1 ε n (14)
将公式
( 14 )
的结果带入公式
( 13 )
,即:
m ≥ log 2 ε − n = n log 2 1 ε (15)
根据上式,我们得出结论:在错误率不大于
ε
的情况下,
m
至少要等于
n log 2 1 ε
才能表示任意
n
个元素的集合。
上一小节中我们曾算出当
k = ln 2 ⋅ m n
时错误率
f
最小,这时
f = 1 2 k = 1 2 m n ln 2
。现在令
f ≤ ε
,可以推出
f ⇒ ⇒ ≤ ε 1 2 m n ln 2 ≤ ε m ≥ n log 2 1 ε ln 2 = n log 2 e ⋅ log 2 1 ε
这个结果比前面我们算得的下界
n log 2 1 ε
大了
log 2 e ≈ 1.44
倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时,要让错误率不超过
ε
,
m
至少需要取到最小值的
1.44
倍。
6. 总结
在计算机科学中,我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况,即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面。Bloom Filter在时间空间这两个因素之外又引入了另一个因素:错误率 。在使用Bloom Filter判断一个元素是否属于某个集合时,会有一定的错误率。也就是说,有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合(False Positive),但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合(False Negative)。在增加了错误率这个因素之后,Bloom Filter通过允许少量的错误来节省大量的存储空间。
自从Burton Bloom在70年代提出Bloom Filter之后,Bloom Filter就被广泛用于拼写检查和数据库系统中。近一二十年,伴随着网络的普及和发展,Bloom Filter在网络领域获得了新生,各种Bloom Filter变种和新的应用不断出现。可以预见,随着网络应用的不断深入,新的变种和应用将会继续出现,Bloom Filter必将获得更大的发展。
【完】